Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces quartiques réglées.

Les surfaces quartiques réglées ont été classifiées par Rohn (1886), et c’est lui qui a conçu les dix modèles de cette série XIII. Le point de départ de cette classification est la courbe double, qui est le lieu des points d’intersection des génératrices de la surface. Les points singuliers de cette courbe sont appelés points-pince.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne.

Surface quartique réglée avec deux droites doubles sans point-pince réel.

Voici l’équation de cette surface en coordonnées homogènes: $$a_{11}(x_0^2{x}_2^2+x_1^2{x}_3^2)+a_{22}(x_0^2{x}_3^2+x_1^2{x}_2^2)+2a_{13}{x}_0{x}_1{x}_2{x}_3=0,$$ où les paramètres à fixer vérifient $$a_{11}>0,a_{22}<0\text{et}|a_{11}+a_{22}|<|a_{13}|.$$ La surface a deux nappes qui se rencontrent le long des deux droites doubles. La génératrice de la surface ne cesse de couper les deux droites doubles.

107. (XIII, 2.) Regelfläche 4. Ord. mit 2 Doppelgeraden ohne reelle Zwickpunkte; sie besteht aus zwei congruenten Mänteln, die sich längs der beiden Doppelgeraden gegenseitig durchsetzen. Mk. 49.—.

Schilling, série XIII (1886) n^o 2 pages 27-28 et 107 page 127. Dyck, 184 Specialkatalog 164 pages 275-276. Maillard et Belgodère, 252.

Italie, Groningue.