Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Modèle variable à fils pour la représentation de l’hyperboloïde à une nappe par ses génératrices, cercles directeurs inégaux.

Ce modèle a subi une rénovation qui le fige dans la position du cône tronqué et rend impossible l’usage qui en était prévu. Deux systèmes de fils étaient attachés aux œillets du cercle directeur supérieur et passaient par des œillets du cercle directeur inférieur. Vingt-deux fils partaient d’un point du cercle supérieur et passaient par des œillets d’un segment tangent au cercle inférieur. Tous ces fils étaient tendus par des poids, de sorte que le modèle était variable.

Dans une position moyenne, les deux systèmes de fils représentent un même hyperboloïde; si on tourne le cercle supérieur, ils en forment deux. Lorsqu’on met les cercles directeurs en position parallèle et qu’on tourne celui du haut, le modèle parcourt une série de formes d’hyperboloïdes dont les formes limites sont un cône tronqué et un cône à deux nappes. Si les cercles directeurs sont en position horizontale par rapport au modèle, ce sont des hyperboloïdes de révolution; si leurs plans font un même angle avec l’horizontale, ce sont des hyperboloïdes à trois axes. En inclinant les plans des cercles directeurs l’un vers l’autre, on engendre des surfaces quartiques gauches: en voici la définition dans Salmon (1882), note 1 page 129:

Une surface engendrée par le mouvement d’une droite s’appelle une surface réglée. Si chaque génératrice est coupée par la génératrice immédiatement consécutive, la surface réglée est dite développable. S’il n’en est pas ainsi, on la nomme surface gauche.
[hyperboloïde à une nappe]

17. (IV, 2.) Veränderliches Fadenmodell zur Darstellung des einschaligen Hyperboloids aus seinen Erzeugenden.

Stellt man die Leitkreise parallel und dreht den einen, so durchläuft das Modell eine Reihe von Hyperboloid-Formen vom Cylinder bis zum Kegel als Grenzfall. Bei horizontaler Lage der Leitkreise sind es Umdrehungshyperboloide, bei geneigter dreiaxige.

Wenn man die Ebenen der Leitkreise gegeneinander neigt, so entsteht eine windschiefe Fläche 4. Ordnung.

Diejenige Linienfläche, welche die an dem Modell angegebenen Kreistangenten zu Leitlinien hat, ist ein Paraboloid, das mit der durch die Leitkreise dargestellten Fläche zwei consecutive Erzeugende gemeinsam hat (vergl. Salmon-Fiedler, Raumgeometrie, 2. Teil, Art. 206). Beschreibung im 1. Teil, IV. Serie Nr. 2. (B). (22×55 cm.) Mk. 85.—.

Dasselbe mit zwei Scharen von Erzeugenden Mk. 90.—.

18. (IV, 3.) Wie vorstehend, nur sind die Leitkreise ungleich, die beiden Scharen der Erzeugenden durch Faden dargestellt, die beiden Grenzlagen Kegel. Beschreibg. Teil I. Serie IV. Nr. 3. (B). (22,5×50 cm.) Mk. 90.—.

Schilling, série IV (1879) no 3 pages 9-10 et 18 page 113. Dyck, 158 Specialkatalog 13 pages 259-260. Fischer (1986b), page 3, photographie 6: modèle avec cercles directeurs égaux.

Coimbra, Göttingen, Vienne.