w=℘(u) pour g₂=4, g₃=0

Ces modèles cherchent à représenter des fonctions

f (z)

d’une variable complexe

z

: comme elles ont des valeurs complexes, ils représentent soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la fonction, c’est-à-dire la hauteur comme fonction

Re f (z)

Im f (z)

des coordonnées

(x, y)

du plan, où

z = x + i y

. C’est la signification des inscriptions « R. » et « i. » sur le socle. Cette distinction en partie réelle et imaginaire peut être à l’origine de singularités absentes du graphe de la fonction lui-même.

Le plan des

z

se situe horizontalement au milieu du modèle. Le côté de l’inscription « R. » ou « i. » est parallèle à l’axe de la partie réelle

x

z

et perpendiculaire à l’axe de la partie imaginaire

y

z

. Des lignes de niveau écartées d’un centimètre sont tracées, ainsi que des lignes de plus grande pente, qui leur sont orthogonales: celles-ci sont choisies de manière que leur projection sur le plan des

z

coïncide pour les modèles des parties réelle et imaginaire.

307-316. (XIV, 1-10.) 16 Modelle zur Darstellung von Functionen einer complexen Veränderlichen. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Walther Dyck.

Um den Verlauf einer Function einer complexen Veränderlichen in der Umgebung gewisser singulärer Stellen und ebenso den Gesamtverlauf gewisser Typen von Functionen einer complexen Veränderlichen durch eine räumliche Darstellung zu veranschaulichen, sind in der bekannten Weise sowohl der reelle als auch der imaginäre Teil der Functionswerte über der Ebene des complexen Argumentes als Ordinaten aufgetragen. So wird jede Function eines complexen Argumentes durch zwei mit R und I bezeichnete Flächen versinnlicht, deren gleichzeitige Betrachtung ein Bild des Functionsverlaufes liefert. Zur genaueren Characteristik der Wertsysteme sind auf den Flächen Niveaulinien in gleichen Abständen (die Einheit des Massstabes $= 3 cm.$ ) und die zugehörigen Orthogonaltrajectorien aufgetragen. Dabei stehen die jedesmal zusammengehörigen Modelle R und I in der Beziehung zu einander, dass die Projection der Niveaulinien und Fallinien der einen Fläche in die Ebene des complexen Argumentes mit der Projection der Fallinien, bezw. Niveaulinien für die andere Fläche in eben diese Ebene identisch ist.

Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.

Ces modèles représentent les fonctions elliptiques de Weierstrass

℘ (u)

℘^{'} (u)

: ce sont des fonctions doublement périodiques. Chaque modèle montre quatre parallélogrammes de période de la fonction, dont chacun contient exactement un pôle, c’est-à-dire un point où la fonction tend vers l’infini. Les paramètres

g_{2}

g_{3}

ci-dessous se calculent à partir des périodes et caractérisent la fonction de Weierstrass.

313-316. (XIV, 7-10.) Die Modelle dienen zur Veranschaulichung des Verlaufes der elliptischen Functionen $℘ (u)$ und $℘^{'} (u)$ in der Weierstrass’schen Normalform. Es wurden dabei die beiden besonderen Fälle für die Darstellung gewählt, für welche in der cubischen Gleichung $4 s^{3} - g_{2} s - g_{3} = 0$ einmal $g_{3} = 0$ , dann $g_{2} = 0$ ist; sie sind zugleich Repräsentanten der beiden Functionsklassen, für welche die Discriminante $G$ der obigen Gleichung positiv, bezw. negativ ist.

w = ℘ u

pour

g_{2} = 4

g_{3} = 0

— partie réelle.

w = ℘ u

pour

g_{2} = 4

g_{3} = 0

— partie imaginaire.

w = ℘^{'} u

pour

g_{2} = 4

g_{3} = 0

— partie réelle et imaginaire.

Le modèle XIV, 8 dont la gravure est reproduite ci-dessous représente la partie réelle de la dérivée

℘^{'} (u)

. On obtient la partie imaginaire en tournant le modèle d’un quart de tour.

313. 314. (XIV, 7 a, b u. 8.) Hier ist $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ gewählt. Dann ergeben sich für die Perioden $ω_{1}$ und $ω_{3}$ der elliptischen Functionen die Werte $ω_{1} = 1, 311, ω_{3} = 1, 311 . i = ω_{1} . i .$ Die Symmetrie der Flächen innerhalb des Periodenquadrates (es sind jedesmal vier solcher modelliert) ist ausser durch die Relationen $℘ (- u) = ℘ (u), ℘^{'} (- u) = - ℘^{'} (u)$ durch die hier speciell geltenden Beziehungen $℘ (i u) = - ℘ (u)$ und $℘^{'} (i u) = i ℘^{'} (u)$ bezeichnet. Die letztere Formel zeigt zugleich, dass für $℘^{'} (u)$ in diesem Falle das den imaginären Teil darstellende Modell der Form nach identisch ist mit dem für den reellen Teil und nur seiner Lage nach durch einen Winkel von 90° gedreht erscheint. Die Modelle kennzeichnen ebenso wie die folgenden Nr. 9 und 10 in charakteristischer Weise das Verhalten einer Function in der Umgebung eines zweifachen [für $℘ (u)$ ] bezw. dreifachen [für $℘^{'} (u)$ ] Unendlichkeitspunktes. Neben diesen treten in den Modellen für $℘ (u)$ noch gewisse „Sattelpunkte“ — den Werten, für welche $℘^{'} (u) = 0$ wird, entsprechend — besonders hervor; und ebenso sind in den Modellen für $℘^{'} (u)$ in den Punkten, für welche $℘^{''} (u) = 0$ wird, Sattelpunkte vorhanden. Von Assistenten Burkhardt und Lehramts-Candidaten Wildbrett (D). (16×16×16 cm.) Nr. 7a u. 7b je Mk. 38.—, Nr. 8 Mk. 44.—.

Schilling, série XIV (1886) n^o 7a, 7b et 8 pages 29-30 et 313 pages 160-161. Dyck, 49 Specialkatalog 179. 180. pages 176-178. Fischer (1986b), pages 81-82, photographies 129, 130 et 131. Maillard et Belgodère, 535, 536 et 537.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Théorie des fonctions.

Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.

$w = ℘ u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie réelle.

$w = ℘ u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie imaginaire.

$w = ℘^{'} u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie réelle et imaginaire.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Théorie des fonctions.

Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.

w=℘u pour g2=4, g3=0 — partie réelle.

w=℘u pour g2=4, g3=0 — partie imaginaire.

w=℘′u pour g2=4, g3=0 — partie réelle et imaginaire.

$w = ℘ u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie réelle.

$w = ℘ u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie imaginaire.

$w = ℘^{'} u$ pour $g_{2} = 4$ , $g_{3} = 0$ — partie réelle et imaginaire.