Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.


Théorie des fonctions.

Ces modèles cherchent à représenter des fonctions f(z) d’une variable complexe  z : comme elles ont des valeurs complexes, ils représentent soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la fonction, c’est-à-dire la hauteur comme fonction Ref(z) ou Imf(z) des coordonnées  (x,y) du plan, où z=x+iy . C’est la signification des inscriptions « R. » et « i. » sur le socle. Cette distinction en partie réelle et imaginaire peut être à l’origine de singularités absentes du graphe de la fonction lui-même.

Le plan des  z se situe horizontalement au milieu du modèle. Le côté de l’inscription « R. » ou « i. » est parallèle à l’axe de la partie réelle x de z et perpendiculaire à l’axe de la partie imaginaire y de z. Des lignes de niveau écartées d’un centimètre sont tracées, ainsi que des lignes de plus grande pente, qui leur sont orthogonales: celles-ci sont choisies de manière que leur projection sur le plan des z coïncide pour les modèles des parties réelle et imaginaire.

307-316. (XIV, 1-10.) 16 Modelle zur Darstellung von Functionen einer complexen Veränderlichen. Ausgeführt unter Leitung von Prof. Dr. Walther Dyck.

Um den Verlauf einer Function einer complexen Veränderlichen in der Umgebung gewisser singulärer Stellen und ebenso den Gesamtverlauf gewisser Typen von Functionen einer complexen Veränderlichen durch eine räumliche Darstellung zu veranschaulichen, sind in der bekannten Weise sowohl der reelle als auch der imaginäre Teil der Functionswerte über der Ebene des complexen Argumentes als Ordinaten aufgetragen. So wird jede Function eines complexen Argumentes durch zwei mit R und I bezeichnete Flächen versinnlicht, deren gleichzeitige Betrachtung ein Bild des Functionsverlaufes liefert. Zur genaueren Characteristik der Wertsysteme sind auf den Flächen Niveaulinien in gleichen Abständen (die Einheit des Massstabes =3cm.) und die zugehörigen Orthogonaltrajectorien aufgetragen. Dabei stehen die jedesmal zusammengehörigen Modelle R und I in der Beziehung zu einander, dass die Projection der Niveaulinien und Fallinien der einen Fläche in die Ebene des complexen Argumentes mit der Projection der Fallinien, bezw. Niveaulinien für die andere Fläche in eben diese Ebene identisch ist.

Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.

Ces modèles représentent les fonctions elliptiques de Weierstrass (u) et (u): ce sont des fonctions doublement périodiques. Chaque modèle montre quatre parallélogrammes de période de la fonction, dont chacun contient exactement un pôle, c’est-à-dire un point où la fonction tend vers l’infini. Les paramètres g2 et g3 ci-dessous se calculent à partir des périodes et caractérisent la fonction de Weierstrass.

313-316. (XIV, 7-10.) Die Modelle dienen zur Veranschaulichung des Verlaufes der elliptischen Functionen (u) und (u) in der Weierstrass’schen Normalform. Es wurden dabei die beiden besonderen Fälle für die Darstellung gewählt, für welche in der cubischen Gleichung 4s3-g2s-g3=0 einmal g3=0, dann g2=0 ist; sie sind zugleich Repräsentanten der beiden Functionsklassen, für welche die Discriminante G der obigen Gleichung positiv, bezw. negativ ist.

w=u pour g2=4, g3=0 — partie réelle.

w=u pour g2=4, g3=0 — partie imaginaire.

Le modèle XIV, 8 dont la gravure est reproduite ci-dessous représente la partie réelle de la dérivée (u) et manque dans la collection de Besançon. On obtient la partie imaginaire en tournant le modèle d’un quart de tour.

[w=℘′(u) pour g₂=4, g₃=0]
w=(u) pour g2=4, g3=0

313. 314. (XIV, 7 a, b u. 8.) Hier ist g2=4, g3=0 gewählt. Dann ergeben sich für die Perioden ω1 und ω3 der elliptischen Functionen die Werte ω1=1,311,ω3=1,311.i=ω1.i. Die Symmetrie der Flächen innerhalb des Periodenquadrates (es sind jedesmal vier solcher modelliert) ist ausser durch die Relationen (-u)=(u),(-u)=-(u) durch die hier speciell geltenden Beziehungen (iu)=-(u) und (iu)=i(u) bezeichnet. Die letztere Formel zeigt zugleich, dass für (u) in diesem Falle das den imaginären Teil darstellende Modell der Form nach identisch ist mit dem für den reellen Teil und nur seiner Lage nach durch einen Winkel von 90° gedreht erscheint. Die Modelle kennzeichnen ebenso wie die folgenden Nr. 9 und 10 in charakteristischer Weise das Verhalten einer Function in der Umgebung eines zweifachen [für (u)] bezw. dreifachen [für (u)] Unendlichkeitspunktes. Neben diesen treten in den Modellen für (u) noch gewisse „Sattelpunkte“ — den Werten, für welche (u)=0 wird, entsprechend — besonders hervor; und ebenso sind in den Modellen für (u) in den Punkten, für welche (u)=0 wird, Sattelpunkte vorhanden. Von Assistenten Burkhardt und Lehramts-Candidaten Wildbrett (D). (16×16×16 cm.) Nr. 7a u. 7b je Mk. 38.—, Nr. 8 Mk. 44.—.

Schilling, série XIV (1886) no 7 a, b pages 29-30 et 313 pages 160-161. Dyck, 49 Specialkatalog 179 pages 176-178. Fischer (1986b), pages 81-82, photographies 129 et 130. Maillard et Belgodère, 536, 535.

313 (XIV, 7a): Göttingen, Harvard, Harvard, Illinois. 313 (XIV, 7b): Göttingen, Harvard, Harvard, Harvard, Illinois, Marbourg.