Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Théorie des fonctions.

Ces modèles cherchent à représenter des fonctions $f(z)$ d’une variable complexe $z$ : comme elles ont des valeurs complexes, ils représentent soit la partie réelle soit la partie imaginaire de la fonction, c’est-à-dire la hauteur comme fonction $\mathrm{Re}f(z)$ ou $\mathrm{Im}f(z)$ des coordonnées $(x,y)$ du plan, où $z=x+iy$. C’est la signification des inscriptions « R. » et « i. » sur le socle. Cette distinction en partie réelle et imaginaire peut être à l’origine de singularités absentes du graphe de la fonction lui-même.

Le plan des $z$ se situe horizontalement au milieu du modèle. Le côté de l’inscription « R. » ou « i. » est parallèle à l’axe de la partie réelle $x$ de $z$ et perpendiculaire à l’axe de la partie imaginaire $y$ de $z$. Des lignes de niveau écartées d’un centimètre sont tracées, ainsi que des lignes de plus grande pente, qui leur sont orthogonales: celles-ci sont choisies de manière que leur projection sur le plan des $z$ coïncide pour les modèles des parties réelle et imaginaire.

Fonctions elliptiques dans la forme normale de Weierstrass.

Ces modèles représentent les fonctions elliptiques de Weierstrass $\wp (u)$ et ${\wp }^{\prime }(u)$: ce sont des fonctions doublement périodiques. Chaque modèle montre quatre parallélogrammes de période de la fonction, dont chacun contient exactement un pôle, c’est-à-dire un point où la fonction tend vers l’infini. Les paramètres $g_2$ et $g_3$ ci-dessous se calculent à partir des périodes et caractérisent la fonction de Weierstrass.

$w=\wp u$ pour $g_2=0$, $g_3=4$ — partie réelle.

$w={\wp }^{\prime }u$ pour $g_2=0$, $g_3=4$ — partie réelle.

$w={\wp }^{\prime }u$ pour $g_2=0$, $g_3=4$ — partie imaginaire.

C’est ce dernier modèle que Man Ray a photographié: Allure de la fonction elliptique p’(u) pour g2=0 et g3=4 (Zervos 1936, page 17). Breton (1936) propose de l’affubler de la légende Les pénitents roses. Karel Teige a utilisé cette photographie pour un collage qui orne la couverture de l’édition tchèque de Choix de poèmes d’Éluard (1946). Elle porte la légende Expression modulaire d’une fonction elliptique et Joyeuses commères sur la maquette de la collection Lucien Treillard (Werner 2002, page 86). L’huile sur toile et la lithographie The merry wives of Windsor [Les joyeuses commères de Windsor] de Man Ray sont composées à partir de cette photographie: voir Penrose (1975).

Voici comment Man Ray évoque ces œuvres dans son autobiographie.

Parmi les photographies que je rapportais à Hollywood, il y avait tout un paquet d’épreuves faites dans les années trente, destinées à servir de modèles à une série de tableaux. Elles représentaient des objets en bois, en métal, en plâtre et en fil de fer qui, dans les vitrines poussiéreuses de l’Institut Poincaré, servaient d’illustrations à des équations algébriques. Ces équations n’avaient aucun sens pour moi, mais les formes des objets, en elles-mêmes, étaient aussi variées et aussi authentiques que celles que l’on trouve dans la nature. Ce qui, à mes yeux, les rendait plus importantes encore, c’est qu’elles étaient fabriquées par la main de l’homme: on ne pouvait pas dire qu’elles étaient abstraites, comme le craignait Breton lorsque je les lui montrai pour la première fois. Pour moi, tout art abstrait est comme un fragment, comme un agrandissement d’un détail de la nature ou d’une œuvre d’art. Ces objets-là, par contre, étaient des macrocosmes complets. En les peignant, je ne les copiais pas exactement, mais composais de chacun d’eux un tableau. Je modifiais les proportions, ajoutais des couleurs, sans tenir compte des intentions mathématiques. Parfois même, j’introduisais quelque forme inattendue comme celles d’un papillon ou d’un pied de table. Quand j’eus terminé une quinzaine de ces tableaux, je leur donnai le titre général: Équations shakespeariennes. Pour son identification individuelle, chaque tableau portait le titre d’une pièce de Shakespeare, arbitrairement, le premier qui me passait par la tête. C’est ainsi que le dernier s’intitula: Tout est bien qui finit bien. Il se trouva des gens pour voir un rapport symbolique entre le sujet et le titre.

Ces tableaux faisaient partie de mon exposition à la galerie Copley. Le titre du catalogue très élaboré que j’avais préparé, To be continued unnoticed, était prophétique: aucun critique ne mentionna mon exposition, et elle passa également inaperçue des collectionneurs, à l’exception de ceux qui me connaissaient personnellement. Al Lewin prit La mégère apprivoisée; les Wescher, un autre tableau que je peignis spécialement pour eux, après coup, et sans titre shakespearien. (Ray 1998, pages 484-485)

315. 316. (XIV, 9a, b. u. 10a, b.) Hier sind die Constanten $g_2=0$, $g_3=4$ zu Grunde gelegt, für welche die Perioden ${\omega }_2$ und ${\omega }_3$ die Werte $${\omega }_2=1,2143,{\omega }_3=0,6072+1,0516i=e^{i\frac{\pi }{3}}{\omega }_2$$ erhalten. Weiter hat man für die Bezeichnung der in den Flächen ersichtlichen Symmetrien der Relationen: $$\wp (\epsilon u)={\epsilon }^4\wp (u)$$ $${\wp }^{\prime }(\epsilon u)={\epsilon }^3{\wp }^{\prime }(u)$$ wo $\epsilon$ eine sechste Einheitswurzel bezeichnet. Von Assistenten Burkhardt und Lehramts-Candidaten Wildbrett (D). (15×22×16 cm.)

Nr. 09a. u. 09b. je Mk. 41.—.

Nr. 10a. u. 10b. je Mk. 48.—.

Den Modellen ist ein erläuternder Text beigefügt und 5 Figurentafeln, in welchen die auf den Flächen verzeichneten Niveaulinien und Fallinien in ihrer Projection auf die Ebene des complexen Argumentes dargestellt sind.

Schilling, série XIV (1886) n^o 9a et 10a, b pages 29-30 et 315 316 page 161. Dyck, 49 Specialkatalog 181, 182 pages 176-178. Fischer (1986b), pages 81-82. Maillard et Belgodère, 538 et 540, 541.

315 (XIV, 9a): Harvard, Harvard, Illinois, Italie. 316 (XIV, 10a): Harvard, Illinois. 316 (XIV, 10b): Harvard, Illinois.