Surface avec 4 points doubles coniques réels C₂

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme

f

de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace

x

y

z

apparaissant dans le polynôme

f

par

x_{1} / x_{0}

x_{2} / x_{0}

x_{3} / x_{0}

, et qu’on multiplie l’expression obtenue par

x_{0}^{3}

, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté

C

. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté

B

; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté

U

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres

C

B

U

indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface avec 4 points doubles coniques réels

C_{2}

C’est l’objet mathématique que l’on aperçoit dans une vitrine de l’Exposition surréaliste d’objets de 1936 à la galerie Charles Ratton: voir Werner (2002), page 149, qui suppose à tort que c’est un exemplaire du modèle 44 (VII, 1).

Ce modèle exhibe une courbe asymptote, tracée en jaune, ainsi que les droites de cette surface cubique.

212. (II, 2.) Fläche 3. Ord. vierter Classe mit 4 reellen conischen Knoten, auf welche eine Asymptotencurve (gelb) aufgezeichnet ist; sie entspricht dualistisch einer Asymptotencurve der Steiner’schen Fläche (4. Ord., dritter Classe) und ist nach Clebsch (Crelle Bd. 67, S. 9) eine Raumcurve 6. Ord., vierter Classe, die in jedem Knotenpunkt der Fläche einen Rückkehrpunkt besitzt. Von Bacharach in München (B). Erläuterung beigegeben. (13×22 cm.) Mk. 16.50.

Cette surface a été réalisée une deuxième fois dans la série des surfaces cubiques par Carl Rodenberg: c’est le modèle 45 (VII, 2). Dans cette deuxième réalisation, on met l’accent sur les 27 droites de la surface. Elles se répartissent ainsi: chacune des 6 droites reliant deux points doubles, tracées à l’origine en rouge, est de multiplicité 4; il en reste 3, qui sont laissées blanches.

45. (VII, 2.) Fläche mit 4 reellen conischen Knotenpunkten $C_{2}$ *). Man erhält dieselbe aus der Diagonalfläche durch Zusammenziehen der 4 Hälse. Von den 27 Geraden sind $4.6$ in die 6 Kanten des aus den Knoten gebildeten Tetraeders zusammengerückt.

Beseitigt man einen Teil der Knoten durch Abschnüren, während man die anderen wieder in Hälse verwandelt, so erhält man einen der Flächentypen mit weniger als 27 Geraden. Beim Abschnüren z. B. eines Knotens werden $4.3 = 12$ Gerade imaginär, man hat also den Typus einer Fläche mit nur 15 reellen Geraden u. s. f.

In die 6 roten Verbindungsstrahlen je zweier Knoten (Knotenstrahlen) sind je 4 Gerade hinein gefallen; die 3 weissen Geraden dagegen sind einfach (unär). Der durch die 4 Eckpunkte bestimmte tetraederförmige Flächenteil liegt ganz im Endlichen und ist positiv gekrümmt. (13×15 cm.) Mk. 12.—.

*) Die Buchstaben $C$ , $B$ , $U$ bedeuten conische, biplanare, uniplanare Knoten; der angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an, um welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird.

Voici les références de ce deuxième modèle: Schilling, série VII (1881) n^o 2 pages 14-16 et 45 pages 116-117. Dyck, 163 Specialkatalog 31 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 13. Vierling-Claassen (2007), modèle 20, pages 55-56. Il est présent à Göttingen, Groningue, Halle, Harvard, Italie, Pavie, Pavie.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec 4 points doubles coniques réels $C_{2}$ .

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec 4 points doubles coniques réels C2.

Surface avec 4 points doubles coniques réels $C_{2}$ .