La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).
Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace , et apparaissant dans le polynôme par , et , et qu’on multiplie l’expression obtenue par , ce qui donne un polynôme homogène.
La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté . Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté ; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté .
La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres , et indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.
Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.
Cette surface est aussi appelée surface de Cayley.
45. (VII, 2.) Fläche mit 4 reellen conischen Knotenpunkten *). Man erhält dieselbe aus der Diagonalfläche durch Zusammenziehen der 4 Hälse. Von den 27 Geraden sind in die 6 Kanten des aus den Knoten gebildeten Tetraeders zusammengerückt.
Beseitigt man einen Teil der Knoten durch Abschnüren, während man die anderen wieder in Hälse verwandelt, so erhält man einen der Flächentypen mit weniger als 27 Geraden. Beim Abschnüren z. B. eines Knotens werden Gerade imaginär, man hat also den Typus einer Fläche mit nur 15 reellen Geraden u. s. f.
In die 6 roten Verbindungsstrahlen je zweier Knoten (Knotenstrahlen) sind je 4 Gerade hinein gefallen; die 3 weissen Geraden dagegen sind einfach (unär). Der durch die 4 Eckpunkte bestimmte tetraederförmige Flächenteil liegt ganz im Endlichen und ist positiv gekrümmt. (13×15 cm.) Mk. 12.—.
*) Die Buchstaben , , bedeuten conische, biplanare, uniplanare Knoten; der angehängte Zeiger gibt die Anzahl der Einheiten an, um welche die Klasse durch die betreffende Singularität erniedrigt wird.
46. 47. 48. 49. (VII, 3, 4, 5, 6.) Sämtlich collinear verwandt der Fläche Nr. 45. Je nachdem man zur Gegenebene (Ebene, die bei der Collineation zur unendlich fernen Ebene gemacht wird) eine Ebene wählt, welche den tetraederförmigen Teil nicht trifft und die Fläche nach einer Kurve dritter Ordnung mit Oval schneidet, oder von diesem Teil eine Kuppe abtrennt, oder einen Knoten des tetraederförmigen Teils von den 3 übrigen, oder endlich 2 Knoten desselben von den 2 übrigen abschneidet, erhält man der Reihe nach aus Nr. 45 die Flächen Nr. 46, 47, 48, 49.
In den drei ersten Fällen wurde ausserdem die Gegenebene horizontal gewählt, im letzten durch eine der unären Geraden (s. Nr. 45) gelegt, so dass beim Modell Nr. 49 eine dieser 3 Geraden im Unendlichen liegt. Der tetraederförmige Teil erstreckt sich bei allen, mit Ausnahme von Nr. 46, ins Unendliche und ist immer positiv gekrümmt. (13×15 cm.) Nr. 46, 48 je Mk. 12.—, Nr. 47, 49 je Mk. 11.—.
Schilling, série VII (1881) no 3 pages 14-16 et 46 page 117. Dyck, 163 Specialkatalog 32 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 14. Institut Henri Poincaré, 19 (Maillard et Belgodère, 132?). Campedelli, gruppo C N. 3. Vierling-Claassen (2007), modèle 21, page 57.