Surface avec un point double biplanaire B₄ avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques C₂

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme

f

de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace

x

y

z

apparaissant dans le polynôme

f

par

x_{1} / x_{0}

x_{2} / x_{0}

x_{3} / x_{0}

, et qu’on multiplie l’expression obtenue par

x_{0}^{3}

, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté

C

. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté

B

; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté

U

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres

C

B

U

indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface avec un point double biplanaire

B_{4}

avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques

C_{2}

La « ligne de crête » passant par le point double était tracée en vert; c’est la droite d’intersection des plans principaux imaginaires. La « ligne de base » était tracée en rouge et relie les deux points doubles imaginaires. Ces deux lignes sont de multiplicité 4. La surface est de courbure négative.

56. (VII, 13.) Fläche mit einem biplanaren, die Klasse um 4 erniedrigenden Knoten $B_{4}$ mit imaginärem Hauptebenenpaar und ausserdem noch 2 imaginären conischen Knoten $C_{2}$ .

Ausser der durch $B_{4}$ gehenden vierfach zu rechnenden Geraden (grün), nach welcher sich die beiden imaginären Hauptebenen daselbst schneiden, liegt noch eine die 2 imaginären Knoten verbindende vierfach zählende Gerade (rot) und, unendlich fern, die beiden eben genannten schneidend, eine unäre Gerade auf ihr. Die Fläche ist negativ gekrümmt. (13×16 cm.) Mk. 10.—.

Schilling, série VII (1881) n^o 13 pages 14-16 et 56 page 118. Dyck, 163 Specialkatalog 42 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 23. Institut Henri Poincaré, 18 (Maillard et Belgodère, 143 ? 144 ? 145 ?). Campedelli, gruppo C N. 13. Vierling-Claassen (2007), modèle 18, pages 51-52.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double biplanaire $B_{4}$ avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques $C_{2}$ .

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double biplanaire B4 avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques C2.

Surface avec un point double biplanaire $B_{4}$ avec une paire de plans principaux imaginaires et de plus deux points doubles coniques $C_{2}$ .