Surface avec un points double conique C₂ et un point double biplanaire B₅ qui possède une paire de plans principaux réels et diminue la classe de 5

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme

f

de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace

x

y

z

apparaissant dans le polynôme

f

par

x_{1} / x_{0}

x_{2} / x_{0}

x_{3} / x_{0}

, et qu’on multiplie l’expression obtenue par

x_{0}^{3}

, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté

C

. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté

B

; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté

U

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres

C

B

U

indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface avec un point double conique

C_{2}

et un point double biplanaire

B_{5}

qui possède une paire de plans principaux réels et diminue la classe de 5.

57. (VII, 14.) Fläche mit einem conischen Knoten $C_{2}$ und einem biplanaren $B_{5}$ , welcher ein reelles Hauptebenenpaar besitzt und die Klasse um 5 erniedrigt.

Die 2 Hauptebenen gehen durch die zehnfach zählende grüne Gerade, die eine berührt die Fläche längs derselben und schneidet sie nach der fünffach zählenden, durch $B_{5}$ gehenden weissen, die andere berührt längs der zehnfach zu rechnenden roten Geraden. Ausserdem liegt auf der Fläche noch die zweifache, durch $C_{2}$ gehende weisse Gerade. Abgesehen von, als Teile der parabolischen Curve, mehrfach zählenden Geraden (rote fünffach, grüne vierfach), ist die parabolische Curve eine Curve dritter Ordnung, welche die erstgenannte Hauptebene in $B_{5}$ zur Schmiegungsebene besitzt und in $C_{2}$ die durch denselben gehende weisse Gerade berührt. (13×15 cm.) Mk. 11.—.

Schilling, série VII (1881) n^o 14 pages 14-16 et 57 page 118. Dyck, 163 Specialkatalog 43 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 25. Campedelli, gruppo C N. 14. Vierling-Claassen (2007), modèle 27, page 69.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double conique $C_{2}$ et un point double biplanaire $B_{5}$ qui possède une paire de plans principaux réels et diminue la classe de 5.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double conique C2 et un point double biplanaire B5 qui possède une paire de plans principaux réels et diminue la classe de 5.

Surface avec un point double conique $C_{2}$ et un point double biplanaire $B_{5}$ qui possède une paire de plans principaux réels et diminue la classe de 5.