Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.


Surfaces cubiques non réglées.

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme f de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace x, y et z apparaissant dans le polynôme f par x1/x0, x2/x0 et x3/x0, et qu’on multiplie l’expression obtenue par x03, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté C. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté B; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté U.

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres C, B et U indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface avec un point double conique réel C2 et un point double biplanaire B6 avec une paire de plans principaux réels qui réduit la classe de 6.

58. (VII, 15.) Fläche mit einem reellen conischen Knoten C2 und einem biplanaren B6 mit reellem Hauptebenenpaar, der die Klasse um 6 reduciert.

Beide Hauptebenen gehen durch die fünfzehnfach zählende grüne Gerade; die eine osculiert die Fläche längs derselben, die andere berührt längs der zwölffach zu rechnenden roten. Der zwischen den beiden Knotenpunkten liegende geschlossene Flächenteil ist positiv gekrümmt, der andere negativ. (12×15 cm.) Mk. 11.—.

Schilling, série VII (1881) no 15 pages 14-16 et 58 page 118. Dyck, 163 Specialkatalog 44 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 26. Vierling-Claassen (2007), modèle 28, page 71.