La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).
Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace , et apparaissant dans le polynôme par , et , et qu’on multiplie l’expression obtenue par , ce qui donne un polynôme homogène.
La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté . Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté ; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté .
La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres , et indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.
Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.
67—70. (VII, 20-23.) Gipsmodelle der Regelflächen 3. Ordnung nach Prof. Dr. C. Rodenberg.
67. (VII, 20.) Regelfläche, deren Doppelgerade völlig von reellen Flächenteilen umgeben ist.
Sie wird (wie Nr. 68 und 69) durch die Verbindungsgeraden entsprechender Elemente der grünen Geraden und des auf sie projectivisch bezogenen, auf der Fläche liegenden, weissen Kegelschnittes (Kreis) gebildet und ist, wie alle Regelflächen, von derselben Klasse wie Ordnung, d. h. hier der dritten. Die grüne Gerade durchsetzt die Ebene des Kreises hier in seinem Innern. (13×15 cm.) Mk. 15.—.
68. (VII, 21.) Regelfläche, wie vorher, nur verläuft die Doppelgerade zum Teil isoliert. Sie verlässt die reellen Flächenteile in 2 Zwickpunkten*), welche auf der Fläche durch den Durchschnitt der 2 roten Erzeugenden mit der Doppelgeraden markiert werden. Diejenigen durch die grüne Gerade (hier ausserhalb des Kreises verlaufend) gehenden 2 Ebenen, welche den Kreis berühren, liefern die 2 roten Erzeugenden. (13×15 cm.) Mk. 12.—.
69. (VII, 22.) Cayley’sche Regelfläche dritter Ordnung.
Die beiden Zwickpunkte der vorigen Fläche haben sich im unendlich fernen Punkt der Doppelgeraden vereinigt. Sie entsteht dann, wenn die grüne (vergl. Nr. 67) Gerade den Kreis trifft; diese Gerade wird dann zugleich die Doppelgerade. (13×15 cm.) Mk. 13.—.
*) „Zwickpunkte“ (pinchpoints) nennt man diejenigen Punkte einer Doppelcurve, in welchen die beiden Tangentialebenen zusammenfallen; sie trennen im Allgemeinen die isoliert verlaufenden Teile der Doppelcurve von denen mit reellen Tangentialebenen und sind als uniplanare Punkte zu betrachten.
70. (VII, 23.) Desgleichen, collinear zu der vorigen Fläche; der Kegelschnitt liegt im Unendlichen. (13×15 cm.) Mk. 16.50.
Schilling, série VII (1881) no 23 pages 14-16 et 70 page 121. Dyck, 163 Specialkatalog 52 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 14-15, photographie 33. Campedelli, gruppo D N. 4.