Ces Journées, dédiées au rôle de la démonstration en mathématiques à l’heure de la réintroduction de la logique dans l’enseignement secondaire, sont organisées par le Laboratoire de Mathématiques de Besançon et l’IUFM de Franche-Comté.
Il s’agit ici de montrer les insuffisances du langage mathématique en particulier du point de vue de la logique mais en soulignant que ceci est indissolublement lié aux concepts ou à l’absence de concepts utilisés (notions de variable en analyse, de fonction, d’ensemble de définition, de limite, de continuité...). On comprend mieux alors l’aspect rituel du langage développé à partir de Weierstrass dans le domaine des limites, et sa nécessité. C’est un bel exemple d’incorporation de la logique dans le langage mathématique lui-même. Toutefois, cette incorporation implique une modification des concepts fondamentaux utilisés, par exemple l’abandon de la notion de variable en analyse, du point de vue théorique, d’où un beau problème didactique: quel rôle joue la notion de variable dans notre tête, dans le discours du professeur, dans l’apprentissage des élèves.
On sait l’importance considérable que la mathématisation de la théorie physique a joué dans l’histoire de cette discipline (naissance de la science moderne au XVIIᵉ siècle) mais on peut se demander si le langage mathématique dans lequel se constituent les théories physiques est traduisible en langage naturel. Peut-on conserver (pour transmettre) l’essence et le sens d’une théorie physique en l’exprimant en dehors d’un formalisme mathématique ?
À partir de textes de Poincaré sur la nature du raisonnement mathématique et des êtres mathématiques, nous développons l’idée que le formalisme, les systèmes formels et la logique formelle ne peuvent pas être une solution aux problèmes de fondements des mathématiques, contrairement à ce qu’espérait Hilbert.
L’échec du programme de Hilbert pour sauver les mathématiques cantoriennes via le formalisme est patent depuis les théorèmes d’incomplétude de Gödel.
Néanmoins, le programme de Hilbert a eu des retombées décisives pour la clarification du débat sur les fondements. Et c’est en définitive Poincaré qui nous semble sortir « vainqueur » de la confrontation.
Les mathématiciens ont une certaine façon d’utiliser la langue, des pratiques langagières spécifiques. On constate que les choses se disent, peuvent se dire et s’entendre de certaines façons et pas d’autres, sans qu’il y ait d’ailleurs nécessairement une façon unique de dire. La plupart des « règles » sont implicites.
La logique peut alors intervenir comme référence pour réfléchir sur le langage mathématique, en proposant un cadre d’interprétation.
Nous présenterons quelques unes des notions que nous enseignons dans le cours « Langage mathématique » proposé aux étudiants de première année des parcours Math, Mass, Math/info et Info de l’Université Paris Diderot.
Je présenterai les catégories logiques fondamentales à l’œuvre dans l’activité mathématiques et je donnerai des pistes pour les prendre en compte dans l’élaboration des situations d’apprentissage et dans l’analyse des travaux d’élèves.
Depuis de nombreuses années, les membres de la fédération de recherche Maths-à-Modeler mettent en pratique des SItuations de Recherche en Classe (SIRC) basées sur l’expérimentation à partir de matériel « ludique ». Ces situations, souvent inspirées de problèmes actuels de mathématiques discrètes, sont utilisées de l’école primaire à l’Université pour mettre les élèves en position de chercheurs. Après avoir confronté l’assistance à l’une de ces SIRC, nous analyserons ensemble les notions de logique et de raisonnement qui auront été mises en œuvre (en nous appuyant sur les travaux de Maths-à-Modeler, mais aussi sur ceux du groupe “logique et raisonnement“ de l’IREM de Grenoble qui étudie des problèmes proches).
L’étude des Éléments d’Euclide étaie l’hypothèse selon laquelle le contrôle logique du raisonnement est dévolu au langage. Cependant ce dernier incorpore lui-même dans son discours des règles de raisonnement, qui sont la forme contextualisée des règles de logique, et qui dépendent donc du domaine mathématique. Ainsi la logique, apparemment absente, est aussi sous-jacente, mais parfois difficile à repérer.
En m’appuyant sur les éléments présentés dans la conférence, je proposerai des pistes pour une analyse critique des manuels de lycée du point de vue des notions logiques au programme.
Il serait intéressant que les participants enseignant en lycée apportent les manuels qu’ils utilisent dans leurs classes.