![[Journées bisontines de didactique et d’épistémologie, Laboratoire de mathématiques de Besançon, France, 28 et 29 avril 2016]](journees.png)
Ces Journées sont organisées par le Laboratoire de mathématiques de Besançon et la fédération de recherche en éducation FR-ÉDUC adossée à l’ÉSPÉ de l’Académie de Besançon.
Elles sont dédiées à la question des grandeurs physiques et mathématiques et à ses répercussions dans l’enseignement des mathématiques.
Elles souhaitent attirer un public varié de chercheurs et d’enseignants intéressés par les questions épistémologiques, historiques et didactiques, ainsi que les étudiants et notamment ceux qui se destinent à l’enseignement des mathématiques.
Elles se tiendront dans la salle 316 du bâtiment métrologie de l’UFR des sciences et techniques.
Pour vous inscrire à ces journées, c’est gratuit et cela nous permet de vous compter pour les repas de midi, qui sont offerts : envoyez un mél à stefan.neuwirth@univ-fcomte.fr.
L’analyse de tout problème physique repose sur une formalisation mathématique faisant appel à différents types de grandeurs. Celles-ci peuvent posséder une structure dont la richesse peut être exploitée par le physicien. Ce point sera illustré en s’appuyant sur les notions d’invariance, de covariance, de conservation et de symétries. Cette richesse est aussi source de nombreuses difficultés pédagogiques dans l’enseignement de la physique au niveau de la licence, voire du master (caractère vectoriel ou scalaire, différence entre dimension et unité, notions de variable, de paramètre et de constante physique, etc.). Cette intervention propose une réflexion articulée sur ce double regard, illustrée par des exemples de problèmes concrets rencontrés par l’intervenant.
Lien vers la vidéo de l’exposé.
On considère généralement qu’une grandeur physique est caractérisée par une « valeur vraie », que l’on obtiendrait d’une mesure dénuée d’erreur expérimentale. Or, la notion de valeur vraie d’une grandeur physique n’est pas sans poser divers problèmes. En particulier, à l’exception des grandeurs dites « fondamentales », les grandeurs physiques ne peuvent pas être caractérisées par une valeur vraie unique. Par exemple, la fréquence d’une raie spectrale présente une largeur liée à la durée de vie des états excités des atomes émettant la lumière. Dans ma présentation, je propose d’expliciter ce constat en m’appuyant sur la façon dont les textes de métrologie en rendent compte, puis d’examiner ses conséquences sur la conception des grandeurs physiques. Je défends que ce constat traduit le caractère approché, dépendant de l’échelle d’étude, des grandeurs physiques et des lois physiques dans lesquelles ces dernières sont mobilisées. Cela amène à rappeler que l’utilisation d’un formalisme mathématique en physique passe par des étapes d’idéalisation et d’approximation dans des modèles qui sont, par construction, en partie inexacts.
Dans cette communication j’essaierai de montrer l’intérêt d’une approche inter-didactique des grandeurs et de la mesure, pour l’enseignement et l’apprentissage comme pour la recherche en didactique. Je m’appuierai sur des exemples issus de plusieurs recherches qui relèvent essentiellement de l’école élémentaire et du collège. J’évoquerai notamment la question de la construction de la grandeur angle à l’école élémentaire et celle du rôle de la mesure et des incertitudes de mesure à l’école et au collège, en mathématiques et en physique.
Je montrerai comment les Grecs et les Arabes ont développé une théorie des grandeurs géométriques (longueur, aire, volume, angle) et comment elle a abouti au 19e siècle à leur arithmétisation, c’est-à-dire à leur réduction aux nombres entiers.
Comment rendre compte, du point de vue théorique, de la différence entre la longueur, puis la norme d’un vecteur en mathématiques d’une part et le module d’un vecteur en sciences physiques d’autre part ? Pour répondre à des questions de ce type, afin de permettre à toutes les personnes et institutions concernées de mieux se connaître et de mieux travailler ensemble, plusieurs modélisations seront présentées, dans lesquelles l’algèbre linéaire a une place de choix. La question de la légitimité des calculs sur les grandeurs avec ou sans les unités servira de fil directeur.
Les théories physiques sont traditionnellement formulées à l’aide d’équations portant sur des variables continues comme le temps, la position, la vitesse ou la force. Dans cet exposé, j’examinerai la possibilité de se passer de ces variables continues en physique et de les remplacer par des variables discrètes. Pour cela, je m’intéresserai plus précisément au cas de la mécanique classique comme exemple de théorie physique et j’examinerai, en particulier, une manière de se passer des variables continues, en utilisant un ensemble fini de nombres réels. J’examinerai ensuite les conséquences épistémologiques de ces approches discrètes, en posant en particulier la question de savoir si, et en quel sens, ces approches sont plus simples que les approches continues traditionnelles.
Depuis maintenant plus d’une décennie la place des mathématiques dans l’enseignement est remise en cause, le point culminant ayant été les annonces de l’alors ministre de l’éducation Claude Allègre ainsi que les politiques européennes et internationales. Au sein de l’IREM de Poitiers nous avons cherché une réponse qui puisse tout à la fois préserver les savoirs mathématiques au centre de nos cours et répondre à la recherche du sens pour ces connaissances abstraites. La pluralité des membres de notre groupe nous a permis de trouver dans les grandeurs un terreau fertile qui fut enrichi par l’accueil de nos brochures sur le terrain. Cette approche a petit à petit pris plus d’assise permettant parfois d’anticiper les demandes institutionnelles. Les différents cadres didactiques théoriques permettent de mieux comprendre ce phénomène. Cet exposé tentera de vous montrer comment s’est construite cette genèse.
On étudiera l’évolution dans le temps et dans diverses institutions d’enseignement de la visibilité (en termes d’absence/présence, et qualités de la présence) des unités de longueur dans les textes de mathématiques ou de sciences physiques savants, dans les manuels scolaires, dans les pratiques d’enseignement, avant d’inviter les participants à expliciter leurs propres pratiques avec leurs élèves ou étudiants sur ce point.