Décrivons les concepts relatifs à la courbure d’une surface à la manière du 19e siècle.
Considérons le plan tangent à un point de la surface. S’il a un contact d’ordre 2 avec la surface, on dit qu’il l’oscule, que le point est parabolique et que la courbure y est nulle. Le lieu de ces points est la courbe parabolique de la surface. Sinon, considérons un plan parallèle au plan tangent qui lui soit infiniment proche et supposons qu’il coupe la surface: son intersection est une conique appelée indicatrice, introduite par Dupin (1813).
La surface est de courbure négative si et seulement si c’est une hyperbole; les deux asymptotes de cette hyperbole rapportée sur le plan tangent sont alors les tangentes asymptotes de la surface. Les courbes asymptotes d’une surface sont les courbes de la surface dont ce sont les tangentes. Intuitivement, il s’agit des courbes de la surface qui sont le moins courbées. Par exemple, si la surface est un hyperboloïde à une nappe, ses courbes asymptotes sont les droites de cette surface gauche.
La surface est de courbure positive si et seulement si l’indicatrice est une ellipse. Si c’est un cercle, le point est un ombilic de la surface.
En tout point qui n’est ni parabolique ni un ombilic, les deux axes de la conique rapportée sur le plan tangent sont les tangentes de plus grande et de moindre courbure, qui sont toujours orthogonales. Les lignes de courbure d’une surface sont les courbes de la surface dont les uns ou les autres axes sont les tangentes. Intuitivement, il s’agit des courbes de la surface de courbure extrémale.