Séminaire Épiphymaths

Jeudi 13 février : Michaël Klopfenstein. Mathématiques en clair-obscur.

Est-il raisonnable de penser que les mathématiques sont fondamentalement liées aux sentiments d’évidence et de clarté ou bien faut-il se résoudre à accepter des zones d’ombre, de mystère, voire d’obscurité ? Ne serait-ce que pour gagner en efficacité et en facilité d’accès vers des structures mathématiques importantes ?

Je pense que la réponse à cette question appelle des nuances dans plusieurs directions. La question est liée aux besoins de l’homme concernant ses représentations de la réalité. La clarté et l’évidence se trouvent autant dans la puissance d’une structure simple qui donne un accès fluide à une réalité complexe que dans un processus d’écrasement forcé de la complexité pour la simplifier. Ainsi, il arrive de devoir choisir entre plusieurs sortes de simplicité. Je propose d’observer que certains lieux des mathématiques peuvent même montrer l’impossible réduction de l’efficacité à la clarté, conduisant à voir cette clarté comme une nécessité plus qu’un fondement, voire même comme étant en tension profonde avec les mathématiques.

Jeudi 6 février : Naoum Daher. Physique du mouvement : analogies et métaphores.

Cet exposé entend rendre la physique du mouvement accessible aux non-spécialistes en ayant recours à des analogies et des métaphores. Sans rentrer dans les considérations physico-mathématiques, difficiles à saisir par les non-scientifiques, nous établirons des correspondances entre des notions abstraites et des formes concrètes, ce qui aide à comprendre l’évolution de certains concepts scientifiques sur l’idée de mouvement. On conclura en établissant une analogie entre les découvertes pratiques – développées à travers l’histoire du transport terrestre et aérien – et les découvertes théoriques – développées progressivement sur la physique du mouvement – en montrant tant l’intérêt des analogies que leurs limites et parfois même leur inadéquation, lorsqu’elles ne sont pas bien maîtrisées et contrôlées.

Articles :

Jeudi 30 janvier : Olivier Fouquet. Discussion sur l’illusion de la réalité en mathématiques.

Cet exposé continue une des directions ouvertes dans les récents exposés de Henri et Stefan en discutant sur la base d’un article de Keith Devlin de la question suivante : pourquoi l’illusion que les mathématiques constituent une réalité externe est-elle si forte, alors qu’il est manifeste que les mathématiques sont une construction cognitive et culturelle ? Dans le langage imagé de Stefan lors du dernier exposé, je vous proposerai donc la réponse de Keith Devlin à la question « Que se passe-t-il pendant la nuit (qui sépare un travail assidu mais apparemment infructueux sur un problème et sa résolution au réveil) ? ».

Jeudi 23 janvier : Stefan Neuwirth. La discussion entre Poincaré et Russell sur la logique.

Henri Poincaré et Bertrand Russell ont échangé sur la logique par des articles parus dans la Revue de métaphysique et de morale entre 1905 et 1911 :

« Les mathématiques et la logique » de Poincaré paru en deux parties dans le volume 13, pages 815-835 et le volume 14, pages 17-34 ;
« Les mathématiques et la logique » (sic !) de Poincaré paru dans le volume 14, pages 294-317, voir en particulier la section IX, « La vraie solution », pages 307-308 ;
« Les paradoxes de la logique » de Russell paru dans le volume 14, pages 627-650, voir en particulier les pages 634 et 640 ;
« La logique de l’infini » de Poincaré paru dans le volume 17, pages 461-482 ;
« La théorie des types logiques » de Russell paru dans le volume 18, pages 264-301 ;
« L’importance philosophique de la logistique » de Bertrand Russell paru dans le volume 19, pages 281-291.

Je voudrais préciser leurs points de vue respectifs à partir d’une lecture de l’article « Poincaré versus Russell sur le rôle de la logique dans les mathématiques » de Michael Detlefsen. La séance est aussi ouverte à la discussion suite à l’exposé d’Henri Lombardi.

Jeudi 9 janvier : Henri Lombardi. Le débat Russell-Poincaré et la notion de prédicativité.

Résumé : Ceci est plutôt un cadrage général de la discussion, l’exposé ayant pour but de raconter le début de l’histoire.

Après la mise en évidence de contradictions dans la théorie naïve des ensembles à la Frege-Cantor, Russell propose une théorie des ensembles (formalisée) ramifiée.

Intuitivement, cela correspond à l’idée d’univers ensemblistes emboités les uns dans les autres : l’univers de niveau 0 serait un ensemble dans l’univers de niveau 1, qui serait lui-même un ensemble dans l’univers de niveau 2, and so on.

Poincaré et Russell discutent alors sur la question fondamentale suivante : quelles sont les constructions d’ensembles réellement légitimes ?

Ils mettent le doigt sur leur divergence philosophique de fond en utilisant le terme de « prédicativité ».

Les conséquences de ce débat sont:

la théorie des ensembles à la Zermelo (1910), et sa critique par Poincaré ;
le programme de Hilbert (1920): l’invention géniale de la théorie de la démonstration pour sauver l’axiome du choix et le principe du tiers exclu ;
l’échec de ce programme dans sa forme initiale (Gödel, 1931), et la réinterprétation du programme dans un cadre constructif ;
la compréhension que les définitions inductives généralisées sont un substitut acceptable aux « constructions » non prédicatives de la théorie des ensembles usuelle ;
le renouveau des mathématiques constructives avec le livre de Bishop (1967) et la théorie constructive des types dépendants de Martin-Löf.

Jeudi 5 décembre 10h-12h à l’amphi Gagnepain de l’institut FEMTO-ST (15b avenue des Montboucons) : John Dudley. Histoire de l’optique à l’université de Franche-Comté.

L’université de Franche-Comté a été fondée en 1423, avec une première structure académique organisée autour du droit, de la théologie et de la médecine. Ce n’est qu’en 1845 qu’une faculté des sciences est créée. À l’occasion du 600^e anniversaire de l’université en 2023, quelques membres du département d’optique de l’institut FEMTO-ST a entrepris des démarches pour comprendre leur propre histoire en recherchant des documents dans les archives, et en enregistrant des récits oraux de membres retraités du département. En outre, une collection de vieux instruments scientifiques datant du 19^e siècle a été trouvée dans un état négligé dans une réserve, et est maintenant exposée à FEMTO-ST. Cette présentation consistera en un exposé de 40 à 50 minutes passant en revue l’histoire de l’optique à Besançon, suivi d’une visite de la collection d’instruments et d’hologrammes.

Jeudi 28 novembre : Serge Morand. L’« intelligence artificielle », à partir de quelques applications : fascination ou inquiétude ?

Le prix Nobel de physique vient d’être attribué à deux pionniers de l’intelligence artificielle pour « l’apprentissage automatique ». Ceux-ci expriment de fortes réserves sur son développement actuel. Chacun d’entre nous est à la fois admiratif des performances et prouesses – par exemple dans le domaine médical – ouvertes par l’IA et inquiet sur les perspectives incontrôlées de telles évolutions technologiques – par exemple le contrôle social chinois 24h sur 24. L’apparition de ChatGPT et autres outils informatiques sur le devant de la scène médiatique et économique et progressivement dans notre vie quotidienne ou professionnelle, accentue les interrogations déjà exprimées au moment de l’explosion du numérique dans la plupart des activités humaines, y compris dans sa dimension géopolitique.

Jeudi 17 octobre : Naoum Daher. Rationalité et objectivité scientifique.

Je parlerai des circonstances qui m’ont amené à développer une rationalité scientifique supra-analytique en m’inspirant tant des insuffisances de la rationalité analytique usuelle que de la démarche architectonique de Leibniz qui avait cherché à dépasser la méthode analytique. Celle-ci avait été initiée par Descartes avant d’être améliorée et perfectionnée progressivement par Huygens, Newton, d’Alembert et Lagrange, pour ne citer que les premiers physiciens qui ont activement contribué à la rationalité de la physique.

Documents complémentaires :

Jeudi 10 octobre : Olivier Fouquet. Soyons réalistes (l’introduction des nombres p-adiques).

Entre 1890 et 1930, les mathématiciens (certains mathématiciens) ont compris qu’il fallait ajouter aux nombres entiers, rationnels, algébriques, réels et complexes d’autres ensembles de nombres : les nombres p-adiques pour chaque nombre premier p. Je discuterai des modalités et des conséquences de cette introduction.

Séminaire Épiphymaths

Épiphymaths est un mot-valise pour Épistémologie, physique, mathématiques.

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