Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surface sur laquelle l’ellipsoïde est représenté de manière conforme par normales parallèles.

Les deux autres collections où figure ce modèle le considèrent comme non identifié: à Göttingen, on suppose que c’est une surface périodique ou une surface minimale. Pour lui retrouver sa “formule”, j’ai procédé par élimination dans le catalogue Schilling qui signale l’auteur de chaque modèle; le moment venu, j’ai fait venir la thèse de Karl Reinbeck (1886) de la Sorbonne: c’est la figure à la fin de cette section, qui en est l’unique planche, qui m’a permis de vérifier mon identification.

Comme ce modèle n’a pas été présenté ailleurs, je vais en parler plus longuement. Il montre une surface qui se représente de manière conforme sur un ellipsoïde de sorte que les normales en un point de la surface et en son image sur l’ellipsoïde sont parallèles: Reinbeck décrit cette surface dans sa thèse et il y donne toutes les données numériques qui lui ont servi pour réaliser le modèle.

Le point de départ de Reinbeck est le théorème ci-dessous de Christoffel (1867) qui repose sur les trois définitions suivantes.

• Une application est conforme si elle préserve les angles en tout point: un angle de tangentes en un point est envoyé sur un angle égal de tangentes.

• Une surface s’applique sur une autre par parallèles normales si les droites normales en les points appliqués l’un sur l’autre sont parallèles.

• Les lignes de courbure d’une surface la divisent en carrés infinitésimaux s’il existe une application conforme de la surface dans le plan qui applique les lignes de courbure sur les parallèles à deux axes orthogonaux du plan.

Théorème. Les lignes de courbure d’une surface la divisent en carrés infinitésimaux si et seulement si elle peut être appliquée de manière conforme par normales parallèles sur une surface qui ne lui soit pas semblable.

La figure ci-dessous, tirée de Schilling, page 137, montre les lignes de courbure d’un ellipsoïde et illustre son application conforme sur une sphère et sur un plan. On y devine un ombilic: c’est le point où la ligne de plus grande courbure issue de $A$ devient une ligne de moindre courbure.

Il s’avère que les deux surfaces du théorème doivent être de courbure opposée et que les lignes de courbure de l’une s’appliquent sur les lignes de courbure de l’autre.

Or Reinbeck sait que les quadriques vérifient l’hypothèse du théorème. Sa thèse consiste alors à déterminer les surfaces sur lesquelles une quadrique s’applique de manière conforme par normales parallèles. Il note déjà deux faits.

• Les plans de symétrie perpendiculaires de la quadrique donnent lieu à des plans de symétrie perpendiculaires de la surface.
• Il est utile d’introduire les coordonnées elliptiques $(t_1,t_2)$. Elles lui permettent de montrer que l’application conforme est singulière aux ombilics de la quadrique.

Le modèle exposé représente le cas d’un ellipsoïde de demi-axes $a>b>c$ dont un octant s’applique de manière conforme sur un rectangle de côtés $U_1$ et $U_2$ dans un rapport $4:3$. Il calcule qu’en posant $c=3$, il faut choisir $b$ et $a$ approximativement égaux à $3.988463$ et $4.990676$.

La figure ci-dessus représente la moitié de la surface déterminée par Reinbeck en projection axonométrique: on obtient la surface complète en la symétrisant par rapport au plan $(y^{\prime }{z}^{\prime })$ des lignes légendées $t_1=a^2$ sur la figure: c’est l’image de la ligne de plus grande courbure d’équation $t_1=a^2$, donc l’image de l’ellipse qui est l’intersection de l’ellipsoïde avec le plan de ses deux moindres demi-axes. Cette surface peut être prolongée par périodicité selon les plans perpendiculaires à l’axe des $y^{\prime }$ des lignes légendées $t_2=b^2$: ce sont les images de la ligne de courbure d’équation $t_2=b^2$, donc les images de l’ellipse qui est l’intersection de l’ellipsoïde avec le plan du plus grand et du moindre demi-axe. Comme cette ligne de courbure passe par les quatre ombilics de l’ellipsoïde, ses images se décomposent en deux moitiés congruentes passant par l’infini. Le modèle représente ainsi deux périodes de la surface.

Biographie. Karl Wilhelm August Reinbeck est né le 8 avril 1859 à Goslar au nord-ouest du Harz, où il a obtenu le baccalauréat vers Pâques 1879. Il a alors étudié les mathématiques et les sciences naturelles à Halle puis Leipzig et finalement Göttingen, où il a passé l’examen pro facultate docendi le 21 juin 1884 devant la Commission d’examen scientifique royale nécessaire pour devenir enseignant de mathématiques. Il a alors fait son année de stage pédagogique au lycée d’Einbeck en Basse-Saxe. Le 19 décembre 1885, il a soutenu sa thèse de doctorat de philosophie esquissée ci-dessus. Son directeur de thèse a certainement été Hermann Amandus Schwarz. Il est resté enseignant auxiliaire à Einbeck jusqu’aux Pâques 1888, puis à Hamelin jusqu’à octobre 1888, date à laquelle il a été nommé au lycée d’Uelzen. Il s’est marié peu après et a eu une fille. Il a publié deux manuels d’enseignement: Die planimetrische Lehraufgabe für Quarta und Unter-Tertia des Realgymnasiums (1899) et Die planimetrische Lehraufgabe für Obertertia und Untersekunda des Realgymnasiums (1900). Il est mort le 28 mai 1939 à Uelzen.

Schilling, série XVII n^o 13 (1886) pages 39-42 et 193 page 139. Dyck, 205 pages 287-288. Maillard et Belgodère, 550-551?.

Göttingen, Harvard, Harvard, Harvard.