Surface hélicoïdale de courbure constante négative

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces de courbure constante et surfaces applicables l’une sur l’autre.

Ces surfaces, d’abord étudiées par Minding (1839), ont eu une importance cruciale en géométrie depuis que Beltrami (1869) a compris qu’elles jouissent de la propriété la plus importante de la géométrie euclidienne, la libre mobilité des figures. Voici comment elle est décrite par Schilling.

Toutes les surfaces de même courbure constante sont applicables l’une sur l’autre sans extension ni compression et on peut les glisser sur elles-mêmes, comme par exemple le plan ou la sphère. On peut donc parler sur de telles surfaces de congruence de figures, parce qu’on peut faire se recouvrir des morceaux de surface [suffisamment petits] par glissement sur la surface même, et ainsi les comparer. La condition nécessaire pour élaborer une géométrie au sens euclidien est ainsi donnée pour ces surfaces; à la place des « droites » on considère les lignes de plus court chemin, c.-à-d. les « géodésiques ». La géométrie sur les surfaces de courbure constante positive est la géométrie sphérique habituelle; celle sur les surfaces de courbure constante négative est appelée géométrie non euclidienne et recouvre celle fondée par Lobatchevski, à laquelle manque le onzième axiome d’Euclide [le postulat des parallèles]. (Schilling 1911, page 142, ma traduction)

En géométrie sphérique, les géodésiques sont les grands cercles, qui se rencontrent toujours en deux points antipodaux. Dans la suite, Schilling précise la différence entre surfaces de courbure constante positive et négative.

Les surfaces de courbure constante négative se distinguent de manière essentielle de celles de courbure positive par les propriétés de leurs lignes géodésiques. Les lignes géodésiques issues d’un point ne se rencontrent plus du tout. Par un point de la surface passe une infinité de lignes [géodésiques] qui rencontrent une ligne géodésique donnée, deux qui lui sont parallèles (la rencontrent à l’infini) et une infinité de lignes qui ne la rencontrent pas. (Schilling 1911, page 142, ma traduction)

Le modèle le plus connu de surface de courbure constante négative est la pseudosphère, surface de révolution engendrée par une courbe appelée tractrice. Les deux modèles suivants en montrent deux autres, mais aucune ne permet vraiment de voir la propriété qui vient d’être décrite, parce qu’il n’est pas possible de construire une surface de courbure constante négative dans l’espace euclidien à trois dimensions qui contienne plus d’un point à l’infini: si elle contient deux lignes géodésiques infinies, celles-ci sont parallèles.

Surface hélicoïdale de courbure constante négative.

La courbe méridienne de cette surface, c’est-à-dire son intersection avec un plan axial, est une partie de la tractrice symétrisée et répétée. Cette symétrisation a une motivation purement esthétique!

Ce modèle a été photographié par Hiroshi Sugimoto (2004): Dini’s surface: a surface of constant negative curvature obtained by twisting a pseudosphere, sous-titre

x = \frac{\cos u}{\cosh v}

y = \frac{\sin u}{\cosh v}

z = v - \tanh v + a u

(0 \leq u < 2 π, - \infty < v < \infty)

231. (V, 4.) Schraubenfläche von constantem negativen Krümmungsmass, deren Meridiancurve die Tractrix ist. Sie ist die einzige Schraubenfläche von der erwähnten Art, in deren Gleichung nicht elliptische Functionen eintreten. (Bei Flächen constanter positiver Krümmung gibt es keine von dieser Eigenschaft). Vergl. U. Dini, Comptes Rendus, Acad. Sc. Paris 1865, I. Sem. pag. 340; Th. Kuen, Berichte der kgl. bayr. Acad. 1884. Von Dr. P. Vogel in München (B). Erläuterung beigegeben. (24×15 cm.) Mk. 18.—.

Schilling, série V (1880) n^o 4 pages 11-12 et 231 page 144. Dyck, 216 Specialkatalog 135 pages 291-293. Fischer (1986b), pages 39-40, photographie 85. Vierling-Claassen (2007), modèle 43, pages 111-112. Maillard et Belgodère, 333 (bois), 334 (plâtre).