Surface de courbure constante négative avec lignes de courbure planes d’après Enneper

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces de courbure constante et surfaces applicables l’une sur l’autre.

Ces surfaces, d’abord étudiées par Minding (1839), ont eu une importance cruciale en géométrie depuis que Beltrami (1869) a compris qu’elles jouissent de la propriété la plus importante de la géométrie euclidienne, la libre mobilité des figures. Voici comment elle est décrite par Schilling.

Toutes les surfaces de même courbure constante sont applicables l’une sur l’autre sans extension ni compression et on peut les glisser sur elles-mêmes, comme par exemple le plan ou la sphère. On peut donc parler sur de telles surfaces de congruence de figures, parce qu’on peut faire se recouvrir des morceaux de surface [suffisamment petits] par glissement sur la surface même, et ainsi les comparer. La condition nécessaire pour élaborer une géométrie au sens euclidien est ainsi donnée pour ces surfaces; à la place des « droites » on considère les lignes de plus court chemin, c.-à-d. les « géodésiques ». La géométrie sur les surfaces de courbure constante positive est la géométrie sphérique habituelle; celle sur les surfaces de courbure constante négative est appelée géométrie non euclidienne et recouvre celle fondée par Lobatchevski, à laquelle manque le onzième axiome d’Euclide [le postulat des parallèles]. (Schilling 1911, page 142)

En géométrie sphérique, les géodésiques sont les grands cercles, qui se rencontrent toujours en deux points antipodaux. Dans la suite, Schilling précise la différence entre surfaces de courbure constante positive et négative.

Les surfaces de courbure constante négative se distinguent de manière essentielle de celles de courbure positive par les propriétés de leurs lignes géodésiques. Les lignes géodésiques issues d’un point ne se rencontrent plus du tout. Par un point de la surface passe une infinité de lignes [géodésiques] qui rencontrent une ligne géodésique donnée, deux qui lui sont parallèles (la rencontrent à l’infini) et une infinité de lignes qui ne la rencontrent pas. (Schilling 1911, page 142)

Le modèle le plus connu de surface de courbure constante négative est la pseudosphère, surface de révolution engendrée par une courbe appelée tractrice. Les deux modèles suivants en montrent deux autres, mais aucune ne permet vraiment de voir la propriété qui vient d’être décrite, parce qu’il n’est pas possible de construire une surface de courbure constante négative dans l’espace euclidien à trois dimensions qui contienne plus d’un point à l’infini: si elle contient deux lignes géodésiques infinies, celles-ci sont parallèles.

Surface de courbure constante négative avec lignes de courbure planes d’après Enneper.

L’intérêt de cette surface est que ses équations sont particulièrement simples alors que ses lignes de courbure sont planes.

Ce modèle a été photographié par Man Ray en 1934-1936: Surface à courbure constante négative d’Enneper, dérivée de la pseudosphère (Zervos 1936, page 14), légendé Antoine et Cléopatre sur la maquette de la collection Lucien Treillard (Werner 2002, page 107). Celle-ci contient deux autres prises du même modèle, dont l’une est légendée Section d’hélicoïde développable. Breton (1936) propose de l’affubler de la légende Campagne de Russie.

Ce modèle a également été photographié par Hiroshi Sugimoto (2004): Kuen’s surface: a surface with constant negative curvature, sous-titre

x = r \cos φ

y = r \sin φ

z = \log \tan \frac{v}{2} + a \cos v (0 < v < π)

φ = u - \arctan u

a = \frac{2}{1 + u^{2} \sin^{2} v}

r = a \sqrt{1 + u^{2}} \sin v

232. (VIII, 1.) Fläche von constantem negativen Krümmungsmass mit ebenen Krümmungslinien nach Enneper. Sie entsteht aus der Tractrixfläche von der Krümmung $- \frac{1}{t^{2}}$ dadurch, dass man auf den Tangenten an ein System von parallelen geodätischen Linien das Stück $t$ in bestimmtem Sinn aufträgt. Die Fläche besitzt eine Ebene und eine räumliche Rückkehrkante mit 2 Spitzen sowie eine Doppelcurve. Das eine System von Krümmungslinien wird von Ebenen ausgeschnitten, welche durch eine (im Modell vertikal gestellte) Gerade hindurch gehen. Das andere System liegt auf Kugeln, deren Mittelpunkte in dieser Geraden liegen. Vergl. Bianchi, Math. Annalen Bd. 16, sowie Enneper, Göttinger Nachrichten 1868: Th. Kuen, Sitzungsberichte der kgl. bayr. Acad. 1884, Heft II. Modelliert von stud. math. Mack. Erläuterung hierzu von Assistenten Th. Kuen in München (B). (24×18 cm.) Mk. 18.50.

Schilling, série VIII (1882) n^o 1 pages 17-18 et 232 pages 144-145. Dyck, 216 Specialkatalog 136 pages 291-293. Fischer (1986b), pages 40-41, photographie 86. Vierling-Claassen (2007), modèle 32, pages 83-85. Maillard et Belgodère, 335 (bois), 336 (plâtre).