La courbure moyenne en un point d’une surface est la moyenne des courbures des deux lignes de courbure passant par ce point, appelées courbures principales. Les surfaces de courbure moyenne nulle sont les surfaces minimales des bulles de savons. Les surfaces de courbure moyenne constante non nulle sont beaucoup moins connues. Delaunay (1841) a prouvé qu’il n’y en a que deux qui soient des surfaces de révolution: l’onduloïde et le nodoïde.
Die Flächen von constanter mittlerer Krümmung sind dadurch definiert, dass die Summe der reciproken Werte ihrer 2 Hauptkrümmungsradien an jeder Stelle denselben Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind, geht in eine integrierbare totale über, wenn man sich auf Rotationsflächen beschränkt, und zwar erhält man für die Meridiancurve die Gleichung
Nach Delaunay (Comptes rendus XIII, 1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser Flächen auch als diejenige Curve, die der Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird. Den 3 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhält man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke „Statique expérimentale et théorique des liquides etc.“ Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden. Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von Flächen constanter mittlerer Krümmung begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflächen zu Flächen von constantem positiven Krümmungsmass definieren. Einen speciellen Fall davon bilden die Minimalflächen, deren mittlere Krümmung Null ist. Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt zu besitzen als jede andere benachbarte Fläche, die durch eine beliebige auf ihr geführte geschlossene Randcurve hindurchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als diejenigen Flächen, welche die zwischen eine gegebene Randcurve sich einspannende Flüssigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen eines Drahtes von der Form der Curve in Seifenlösung) annimmt.
Die Minimalflächen werden sowohl durch ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptotencurven in unendlich kleine Quadrate geteilt. (Die Indicatrix ist für diese Flächen eine gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch die Asymptotencurven aufeinander senkrecht). Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre sog. Bonnet’sche Biegungsfläche, welche auf sie derart abwickelbar ist, dass die Krümmungslinien der einen in die Asymptotencurven der andern übergehen. Vergl. Schwarz in Crelle’s Journ. Bd. 80.
239-242. (II, 3.) Drei Typen von Rotationsflächen constanter mittlerer Krümmung mit geodätischen Linien. Das Verhalten der letzteren ist je nach dem Winkel, unter dem eine den grössten Parallelkreis trifft, ein verschiedenes. Entweder bewegt sie sich zwischen 2 Parallelkreisen (blau) oder sie nähert sich asymptotisch dem Kehlkreis. d. i. Parallelkreis vom kleinsten Radius (grün), oder sie läuft über die ganze Fläche hin. Von stud. math. A. v. Braunmühl in München (B). Erläuterung beigegeben.
239. (II, 3a.) Onduloid. Die Meridiancurve ergibt sich für , aus der oben angegebenen Gleichung, wenn von den 2 daselbst vorkommenden Vorzeichen das obere (positive) gewählt wird. (12×26 cm.) Mk. 10.50.
La courbe méridienne du nodoïde est le lieu du foyer d’une hyperbole qui roule sans glisser sur une droite. Les lignes tracées sur le modèle représentent des géodésiques: certaines restent entre deux parallèles de cette surface de révolution et d’autres se rapprochent asymptotiquement de son «goulot».
240. (II, 3b.) Nodoid. und wie oben, aber in der Gleichung ist das untere (negative) Vorzeichen zu wählen. (11×8 cm.) Mk. 9.50.
Schilling, série II (1877) no 3b pages 5-6 et 240 page 146. Dyck, 219 Specialkatalog 141 page 294. Fischer (1986b), page 51. Belgodère et Maillard, 314 (bois).
