Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Die Flächen von constanter mittlerer Krümmung sind dadurch definiert, dass die Summe der reciproken Werte ihrer 2 Hauptkrümmungsradien an jeder Stelle denselben Zahlenwert besitzt. Die partielle Differentialgleichung, durch welche sie definiert sind, geht in eine integrierbare totale über, wenn man sich auf Rotationsflächen beschränkt, und zwar erhält man für die Meridiancurve die Gleichung $$z=\int \frac{r^2\pm a_1{a}_2}{\sqrt{(a_1^2-r^2)(r^2-a_2^2)}}dr\text{.}$$

Nach Delaunay (Comptes rendus XIII, 1841) ergibt sich die Meridiancurve dieser Flächen auch als diejenige Curve, die der Brennpunkt eines Kegelschnittes beim Abrollen auf einer Geraden beschreibt, welche dann Rotationsaxe wird. Den 3 Kegelschnitten Ellipse, Hyperbel, Parabel entsprechend, erhält man 3 verschiedene Typen, die von Plateau in seinem Werke „Statique expérimentale et théorique des liquides etc.“ Onduloid, Nodoid, Catenoid genannt wurden. Nach Laplace werden die Gleichgewichtsfiguren von Flüssigkeiten, welche der Einwirkung der Schwere entzogen sind, von Flächen constanter mittlerer Krümmung begrenzt. Geometrisch lassen sie sich auch als gewisse Parallelflächen zu Flächen von constantem positiven Krümmungsmass definieren. Einen speciellen Fall davon bilden die Minimalflächen, deren mittlere Krümmung Null ist. Dieselben haben die Eigenschaft, einen kleineren Flächeninhalt zu besitzen als jede andere benachbarte Fläche, die durch eine beliebige auf ihr geführte geschlossene Randcurve hindurchgelegt wird. Sie ergeben sich mechanisch als diejenigen Flächen, welche die zwischen eine gegebene Randcurve sich einspannende Flüssigkeitshaut (z. B. durch Eintauchen eines Drahtes von der Form der Curve in Seifenlösung) annimmt.

Die Minimalflächen werden sowohl durch ihre Krümmungs- wie durch ihre Asymptotencurven in unendlich kleine Quadrate geteilt. (Die Indicatrix ist für diese Flächen eine gleichseitige Hyperbel, deshalb stehen auch die Asymptotencurven aufeinander senkrecht). Zu jeder Minimalfläche gibt es eine zweite, ihre sog. Bonnet’sche Biegungsfläche, welche auf sie derart abwickelbar ist, dass die Krümmungslinien der einen in die Asymptotencurven der andern übergehen. Vergl. Schwarz in Crelle’s Journ. Bd. 80.

243. (VIII, 6c.) Catenoid, grösser, mit aufgezeichneten Krümmungslinien (weiss) und Asymptotencurven (rot). Diese Fläche ist die Bonnet’sche Biegungsfläche zur folgenden windschiefen Schraubenfläche (Nr. 244, 245). Beim Aufbiegen beider auf einander geht der Kehlkreis in die Axe der letzteren über, die Meridiane in die geraden Erzeugenden, Parallelkreise in die Schraubenlinien (B). (20×14 cm.) Mk. 12.—.