Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme $f$ de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace $x$, $y$ et $z$ apparaissant dans le polynôme $f$ par $x_1/x_0$, $x_2/x_0$ et $x_3/x_0$, et qu’on multiplie l’expression obtenue par $x_0^3$, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté $C$. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté $B$; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté $U$.

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres $C$, $B$ et $U$ indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface diagonale de Clebsch.

La surface diagonale peut être considérée comme représentante de toutes les surfaces cubiques génériques, c’est-à-dire sans point double, au sens où celles-ci peuvent être obtenues à partir de celle-là par un processus de déformation tout au long duquel n’apparaît jamais de point double.

On peut définir cette surface de manière très symétrique comme l’intersection de la surface cubique dans l’espace à quatre dimensions donnée par $x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0$ avec l’hyperplan donné par $x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0$. Toute la surface est courbée négativement, mis à part un nombre fini de points paraboliques, ce qui rend cette surface beaucoup moins générique.

Voici comment Klein (1898, page 26) décrit le principe qui a présidé à la conception du modèle:

Nous pouvons énoncer ici comme une règle générale que, lorsqu’on choisit un cas particulier en vue de la construction d’un modèle, la première chose requise est la régularité. Si l’on choisit pour le modèle une forme symétrique, non seulement l’exécution en est simplifiée, mais encore, ce qui a plus d’importance, le caractère du modèle s’imprimera plus aisément dans l’esprit.

Isabelle Fortuné considère que ce modèle est le sujet de la photographie de Man Ray publiée dans Zervos (1936), page 9 avec la légende « Surface réglée » (sic!): elle écrit à ce sujet qu’il « semble en effet avoir reconnu, et recherché dans ces objets mathématiques, des possibilités de suggestion figurative, et surtout, les avoir parfois créées de toutes pièces, comme dans la “Surface cubique des 27 droites”, par l’opposition des zones d’ombre et de lumière et le choix de l’angle de prise de vue. » (Fortuné 1999, page 110). Gabriele Werner arrive à la même conclusion: « la reconnaissance est rendue difficile par le fait que Man Ray a pris cette de surface “de derrière”, avec une vue plongeante extrême, de sorte que les trois “singularités de surface” qui se dressent de manière ovale sont raccourcies et paraissent plus pointues, et donnent un effet plus trapu à l’objet tout entier » (Werner 2002, page 124, ma traduction). Mais la comparaison montre que ces deux auteurs se trompent: il faudra continuer à chercher le sujet de cette photographie à l’Institut Henri Poincaré et au Palais de la découverte.

Les lignes tracées à la surface représentent les 27 droites des surfaces cubiques lisses. Il y a 72 manières de choisir parmi elles 6 droites non coplanaires deux à deux: un choix a été noté $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ sur le plâtre. Il existe alors un seul ensemble de 6 autres droites non coplanaires deux à deux, notées $1^{\prime }$, $2^{\prime }$, $3^{\prime }$, $4^{\prime }$, $5^{\prime }$, $6^{\prime }$ telles que chaque droite $i$ rencontre toutes les droites $j^{\prime }$ sauf $i^{\prime }$. Cette configuration est appelée « double six de Schläfli ». Il reste alors 15 autres droites sur la surface: notées $ij$ avec $i\ne j$, chacune rencontre $i$, $i^{\prime }$, $j$ et $j^{\prime }$; elles étaient à l’origine de couleur rouge pour les distinguer des 12 autres.

Notons que le modèle gauchit ces droites, ce qui a incité Claus Michael Ringel à commissionner un nouveau plâtre à Friedhelm Kürpig, sur lequel les droites sont réellement droites.

Ce modèle a été photographié en 2004 par Hiroshi Sugimoto (2004): Diagonal Clebsch surface, cubic with 27 lines, sous-titre $$x_0+x_1+x_2+x_3+x_4=0$$ $$x_0^3+x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3=0$$ $$(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4)\in \mathbb{R}{P}^4$$

44. (VII, 1.) Die Diagonalfläche mit 27 reellen Geraden (Bezeichnung von Clebsch, s. Salmon-Fiedler, Analyt. Geom. d. R. II. Art. 289) kann als Repräsentant der allgemeinen $F_3$ mit 27 reellen Geraden angesehen werden. Zwar sind von den geradlinigen Dreiecken, welche die allgemeine Fläche enthält, auf dieser Fläche 10 in Punkte zusammengeschrumpft. Hiermit zugleich sind die diesen Dreiecken einbeschriebenen 10 Ovale der „parabolischen“ Curve (derjenigen Curve auf der Fläche, welche die Partien positiver Krümmung von denen negativer trennt) auf Punkte (Ovalpunkte) reduciert. — Aber mit Hilfe eines Deformationsprocesses, dem eine Constanten-Änderung der Flächengleichung parallel läuft, lässt sich aus der Diagonalfläche die (nicht so übersichtlich darstellbare) allgemeine Fläche leicht ableiten.

Solche Deformationsprocesse sind es überhaupt, die nicht nur von den hier vorliegenden Haupttypen zu allen möglichen Formen von Flächen dritter Ordnung hinführen, sondern auch den Zusammenhang zwischen den einzelnen Typen der Serie herstellen.

Die 15 roten Geraden besitzen je zwei reelle Asymptotenpunkte, d. h. unter den Kegelschnitten, nach welchen alle durch eine solche hindurchgehenden Ebenen die Fläche schneiden, befinden sich 2 reelle, diese Gerade in den vorhin genannten Punkten berührende. Die 12 weissen Geraden bilden eine Doppelsechs, auf ihnen sind die Asymptotenpunkte imaginär. Mit Ausnahme der Ovalpunkte und der erwähnten Asymptotenpunkte ist die ganze Fläche negativ gekrümmt. (15×24 cm.) Mk. 25.—.

Schilling, série VII (1881) n^o 1 pages 14-16 et 44 page 116. Dyck, 163 Specialkatalog 30 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 10-12, photographies 10-12. Institut Henri Poincaré, 19 (Maillard et Belgodère, 128?). Campedelli, gruppo C N. 1. Vierling-Claassen (2007), modèle 17, pages 49-50. Vidiani (2006).

Göttingen, Halle, Harvard, Harvard, Harvard Harvard Italie, MIT, Pavie, Pavie. Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952: Milan, Turin.