Surface avec un point double uniplanaire U₆ dont le plan principal coupe la surface en trois droites

La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).

Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme

f

de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace

x

y

z

apparaissant dans le polynôme

f

par

x_{1} / x_{0}

x_{2} / x_{0}

x_{3} / x_{0}

, et qu’on multiplie l’expression obtenue par

x_{0}^{3}

, ce qui donne un polynôme homogène.

La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté

C

. Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté

B

; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté

U

La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres

C

B

U

indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.

Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.

Surface avec un point double uniplanaire

U_{6}

dont le plan principal coupe la surface en trois droites.

Les trois droites passant par le point double étaient tracées en rouge et sont de multiplicité 8. Il reste les trois droites de « base », restées blanches. Toute la surface est courbée négativement, mis à part le point de rencontre de ces trois droites, où la courbure est nulle.

59. (VII, 16.) Fläche mit einem uniplanaren, die Klassenzahl um 6 reducierenden Knoten $U_{6}$ , dessen Hauptebene die Fläche in 3 achtfach zählenden roten Geraden schneidet.

Sie entsteht aus Nr. 51 durch Zusammenziehen der 3 Knotenpunkte in den $U_{6}$ ; die 3 unären Geraden von Nr. 51 bleiben dabei erhalten und besitzen ebenfalls reelle Asymptotenpunkte. Im Allgemeinen besitzt eine solche Fläche eine parabolische Curve sechster Ordnung, welche die Form eines die 3 unären Geraden berührenden Ovals besitzt. Weil aber auf dem vorliegenden Modell diese 3 Geraden sich schneiden, verschwindet dieses Oval und die Fläche ist negativ gekrümmt. (12×15 cm.) Mk. 11.—.

Schilling, série VII (1881) n^o 16 pages 14-16 et 59 page 118. Dyck, 163 Specialkatalog 45 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 28. Institut Henri Poincaré, 7 (Maillard et Belgodère, 146?). Campedelli, gruppo C N. 16. Vierling-Claassen (2007), modèle 18, pages 51-52.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double uniplanaire $U_{6}$ dont le plan principal coupe la surface en trois droites.

Modèles mathématiques du Laboratoire de mathématiques de Besançon.

Surfaces cubiques non réglées.

Surface avec un point double uniplanaire U6 dont le plan principal coupe la surface en trois droites.

Surface avec un point double uniplanaire $U_{6}$ dont le plan principal coupe la surface en trois droites.