La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).
Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace , et apparaissant dans le polynôme par , et , et qu’on multiplie l’expression obtenue par , ce qui donne un polynôme homogène.
La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté . Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté ; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté .
La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres , et indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.
Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.
Le point double se trouve dans un plan qui est tangent à la surface le long d’une droite de multiplicité 16 qui était tracée en vert, et qui la rencontre selon une droite de multiplicité 10 qui était tracée en rouge. Le plan tangent à la surface selon cette droite rencontre encore la surface selon une deuxième droite. On a tracé de plus la courbe parabolique, qui a un point de rebroussement en le point double de tangente la droite verte.
61. (VII, 18.) Fläche mit einem uniplanaren, die Klasse um 7 reducierenden Knoten , dessen Tangentialebene die Fläche längs der sechzehnfach zählenden grünen Geraden berührt und nach der zehnfachen roten schneidet.
Die Tangentialebene längs der letzteren Geraden enthält die einzige unäre Gerade der Fläche mit 2 reellen Asymptotenpunkten. Die parabolische Curve ist, von den dazu gehörigen Geraden abgesehen (grüne sechsfach, rote doppelt), eine Curve vierter Ordnung, welche aus einem einzigen Oval besteht und in eine Spitze mit den grünen Geraden als Tangente daselbst besitzt. Durch diese Fläche findet der Übergang von Nr. 59 zu 60 statt. (12×15 cm.) Mk. 10.—.
Schilling, série VII (1881) no 18 pages 14-16 et 61 pages 118-119. Dyck, 163 Specialkatalog 47 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 30. Campedelli, gruppo C N. 18.
Groningue, Halle, Italie. Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952: Milan, Turin.