La série VII de modèles de Brill a été conçue par Carl Rodenberg (1879), élève d’Alfred Clebsch, et illustre sa classification des surfaces cubiques, à la suite des travaux de Felix Klein (1873).
Les surfaces cubiques sont les surfaces définies par un polynôme de degré 3. On préfère en général utiliser des coordonnées homogènes pour définir une surface algébrique, c’est-à-dire qu’on remplace les trois coordonnées d’espace , et apparaissant dans le polynôme par , et , et qu’on multiplie l’expression obtenue par , ce qui donne un polynôme homogène.
La classification est basée sur les points singuliers de la surface, appelés dans la suite points doubles. Un point est double si toutes les dérivées du polynôme s’y annulent: le développement limité du polynôme au voisinage de ce point à l’ordre 2 ne contient donc pas de partie affine, de sorte qu’il définit un cône s’il est non nul: c’est pourquoi on parle de point conique, noté . Mais si le développement limité se factorise, le cône dégénère en la réunion de deux plans et on appelle le point biplanaire, noté ; s’il se factorise en un carré parfait, le cône dégénère en un seul plan et on appelle le point uniplanaire, noté .
La classe d’une surface cubique est le nombre de points de la surface tangents à un faisceau de plans générique: il est de 12 si la surface ne contient pas de points doubles; l’indice des lettres , et indique de combien d’unités la classe est diminuée par la singularité considérée.
Dans sa thèse, Polo-Blanco (2007) fait le lien entre ces modèles et la théorie algébrique moderne. Lê (2011) propose une approche historique.
Le plan tangent à la surface en le point double est en fait un plan osculateur selon sa seule droite, de multiplicité 27. On a aussi tracé le reste de la courbe parabolique, tangent à cette droite en le point double.
62. (VII, 19.) Fläche mit einem uniplanaren Knoten , durch welche die Klassenzahl um 8 vermindert wird.
Die Tangentialebene in osculiert die Fläche längs der einzigen siebenundzwanzigfach zählenden Geraden. Sieht man von dieser als Teil der parabolischen Curve zehnfach zu rechnenden Geraden ab, so ist die parabolische Curve ein Kegelschnitt, der in die Gerade der Fläche berührt. (12×15 cm.) Mk. 7.50.
Schilling, série VII (1881) no 19 pages 14-16 et 62 page 119. Dyck, 163 Specialkatalog 48 pages 263-264. Fischer (1986b), pages 12-14, photographie 31. Campedelli, gruppo C N. 19.
Groningue, Halle, Italie. Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952: Milan, Turin.