Les cyclides de Dupin sont les surfaces dont toutes les lignes de courbure sont des cercles ou des droites. Elles ont été découvertes par Charles Dupin dans sa thèse de 1803 et il leur consacre un chapitre dans Dupin (1822). Maxwell (1868) a décrit les différentes formes de la cyclide qui ne sont pas des surfaces de révolution: cyclide anneau, cyclide cornée, cyclide croisée, cyclide parabolique.
Les exemples élémentaires de cyclides sont les tores, obtenus par rotation d’un cercle autour d’un axe qui est dans le plan du cercle: si l’axe est à l’extérieur du cercle, c’est un tore anneau; s’il lui est tangent, c’est un tore corné; sinon, c’est un tore croisé (on exclut le cas où l’axe est axe de symétrie du cercle, auquel cas on obtiendrait une sphère). Toute cyclide de Dupin est alors obtenue par inversion d’un tel tore.
Unter Cycliden im allgemeinen Sinn (nach Darboux) versteht man alle diejenigen Flächen vierter Ordnung, welche den unendlich fernen imaginären Kugelkreis zur Doppelcurve haben. Sie sind die Enveloppen aller Kugeln, deren Mittelpunkte auf einer Fläche zweiten Grades liegen und eine gegebene Kugel stets orthogonal schneiden. Sie besitzen Scharen von Kreisen, die teilweise zugleich Krümmungslinien sein können; die Krümmungslinien sind im Allgemeinen jedoch höhere algebraische Curven. Diese Flächen können bis 4 Knotenpunkte enthalten.
Die Flächen mit 1, 2, 3, 4 Doppelpunkten erhält man auch durch Transformation mittelst reciproker Radien beziehungsweise aus folgenden Flächen zweiter Ordnung: a) allgemeine Fläche zweiter Ordnung, b) beliebiger Kegel, c) Rotationsfläche, d) Kreiskegel. Da die Krümmungslinien dabei erhalten bleiben, und Gerade und Kreise im Allgemeinen in Kreise, Ebenen und Kugeln in Kugeln übergeführt werden, so besteht im Falle b) und c) das eine System von Krümmungslinien aus Kreisen, die sich in 2 Doppelpunkten der Fläche schneiden, das andere wird durch Kugeln ausgeschnitten (ist sphärisch). Im Falle d) sind die beiden Kreisscharen, welche aus den Erzeugenden, resp. Parallelkreisen des Rotationskegels sich ergeben, von denen die ersteren sich in den 2 reellen, die anderen in den 2 imaginären Knotenpunkten sich schneiden, zugleich Krümmungslinien. Man nennt diese letzteren Dupin’sche Cycliden. Dieselben ergeben sich auch als Enveloppen aller Kugeln, welche 3 gegebene berühren. Vergl. die Abhandlung von Maxwell in Quart. Journ. of Math. Bd. 9, pag. 111, sowie Salmon-Fiedler, Geometrie des Raumes, II. Teil, Art. 318-323 (2. Aufl.).
85-91. Dupin’sche Cycliden. Sie wurden mit Ausnahme von Nr. 86, 87 u. 91 von Assistenten Dr. P. Vogel in München modelliert. (B).
La cyclide anneau est obtenue par inversion d’un tore anneau; le centre de l’inversion est à l’extérieur ou à l’intérieur du tore: s’il était sur le tore, la cyclide contiendrait un point à l’infini, auquel cas on l’appelle parabolique.
Les deux familles de cercles tracés sur la cyclide sont ses lignes de courbure.
85. (V, 5a.) Ringcyclide mit 4 imaginären Knotenpunkten (davon ist die gewöhnliche Wulstfläche ein specieller Fall). Die aufgezeichneten 2 Kreisscharen sind die Krümmungslinien. (7×14 cm.) Mk. 10.50.
Schilling, série V (1880) no 5a pages 11-12 et 85 page 124. Dyck, 164 Specialkatalog 57 page 265. Fischer (1986b), pages 30-33, photographie 71. Institut Henri Poincaré, 296-2. Campedelli, gruppo E N. 4.
Dresde, Göttingen, Groningue, Halle, Illinois, Italie, Pavie, Pavie, Vienne. Moulages réalisés sous la direction de Luigi Campedelli en 1952: Milan, Turin.