Séminaire Épiphymaths

Épiphymaths est un mot-valise pour Épistémologie, physique, mathématiques.

Thèmes de l’année

Programme

Jeudi 8 juin : Michaël Klopfenstein, Réflexions sur les raisonnements mathématiques.

Distinguer entre les raisonnements liés (aux objets étudiés) ou déconnectés (de ces objets) : une démarche essentielle pour observer les mathématiques.

Les résultats surprenants concernant les fondements des mathématiques sont principalement issus de raisonnements « surplombant » les objets étudiés au moyen de structures déconnectées des contenus dont ils sont censés parler. J’appelle cela une « rupture conceptuelle ». Je propose d’élargir ce point de vue à l’observation d’une large classe d’énoncés et raisonnements mathématiques.

À partir de l’étude de quelques cas classiques (le théorème d’arrêt, le procédé diagonal de Cantor, plusieurs paradoxes célèbres, ...), on aboutira à des thèmes plus généraux comme la posture constructiviste, l’utilité d’axiomes d’existence, le problème du tiers exclu, et plus généralement encore la place de la rupture dans le processus de définition en mathématiques, la notion de « vérité » en mathématique et son statut.

Jeudi 4 mai : Michel Serfati, Révolution symbolique, révolution scientifique : la constitution de l’écriture symbolique mathématique dans le cadre des Journées bisontines de didactique et d’épistémologie.

Jeudi 6 avril : Daniel Van Labeke, Fluctuations du vide et rayonnement continu de freinage (Bremsstrahlung).

Jeudi 30 mars : Relâche, stage Mathématiques et musique : de l’objet au phénomène du groupe IREM Mathématiques et Philosophie.

Jeudi 23 mars : Discussion sur le thème « Structure fine du spectre de l’atome d’hydrogène et origines de la mécanique quantique relativiste ».

Jeudi 16 mars : Daniel Van Labeke, Structure fine du spectre de l’atome d’hydrogène et débuts de la mécanique quantique relativiste.

Lors des deux premiers séminaires, nous avons montré que les débuts de la mécanique quantique sont associés à une volonté d’explication des régularités mathématiques du spectre de l’atome d’hydrogène.

En quantifiant le moment cinétique, Bohr, en 1913, a retrouvé les formules de Balmer. En 1925, la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique des matrices de Heisenberg, Jordan, Dirac, Born, Pauli, avaient l’objectif de bâtir un nouveau formalisme cohérent et universel, mais retrouvant pour l’hydrogène les niveaux d’énergie de Bohr.

Ces deux formalismes, dont l’équivalence fut vite établie, furent appliqués avec succès à énormément de sujets au-delà de l’hydrogène.

Cependant, depuis 1892, la communauté des physiciens savait que les raies de l’atome d’hydrogène comportaient une structure (la raie H α semble double) incompatible avec la théorie de Bohr ou avec la mécanique quantique. C’est en voulant expliquer cette « structure fine » que vont démarrer les premiers travaux tendant à intégrer la relativité restreinte d’Einstein à la physique quantique pour aboutir en 1928 à la publication de Dirac donnant naissance à la mécanique quantique relativiste.

Jeudi 9 mars : Daniel Van Labeke, De la mécanique de Heisenberg au spectre de l’hydrogène en passant par le vecteur de Laplace (suite).

Jeudi 16 février : Daniel Van Labeke, De la mécanique de Heisenberg au spectre de l’hydrogène en passant par le vecteur de Laplace.

Jeudi 9 février : Relâche, stage IREM d’Histoire des mathématiques.

Jeudi 26 janvier : Uwe Franz, Autour du théorème de Stone et von Neumann.

Jeudi 19 janvier : Naoum Daher, Lecture commune d’extraits de l’« Essai de dynamique » de Leibniz (1691) ainsi que du « Traité de dynamique » de D’Alembert (1743).

Jeudi 12 janvier : Naoum Daher, Sur la dynamique pré-newtonienne et ses multiples potentialités.

Telle une fille en bas âge, toute discipline scientifique naissante est porteuse de potentialités qui subissent des restrictions substantielles au cours de son développement. Et la dynamique ne déroge pas à cette règle. L’affirmation associée à la physique spatio-temporelle – depuis la conception transcendante de Newton (Sensorium Dei) puis transcendantale de Kant (Esthétique Transcendantale) – selon laquelle le rôle de la dynamique est d’étudier le mouvement dans l’espace et le temps, s’apparente à cette autre affirmation selon laquelle le rôle de la femme est de servir son mari et de lui faire des enfants !

Au-delà de cette analogie, quelque peu provocatrice, il s’agit de mettre en évidence le danger qui guette tout producteur d’une science nouvelle où le risque de confusion est grand entre ce qui relève d’une réalité et ce qui se rapporte aux préjugés tant individuels que collectifs (ceux de l’époque). Ces préjugés s’immiscent dans la démarche scientifique au travers de postulats qui érigent des murs empêchant de voir la réalité en question dans sa vérité première.

Il importe donc de revenir à la source historique de la dynamique, à cette époque où les murs évoqués ci-dessus n’ont pas été encore construits. On découvrira ainsi des potentialités abandonnées et des occasions manquées, proposées, en vain, par les premiers constructeurs de la dynamique (Descartes, Huygens, Leibniz, ...). Si certains points de vue ont pu être récemment réhabilités, l’essentiel, qui consiste en une démarche « hors points de vue », reste à faire.

Jeudi 15 décembre : Joël Garnier, Naoum Daher et Stefan Neuwirth, Discussion sur le thème « Les mathématiques et le réel. »

Jeudi 8 décembre : Stefan Neuwirth, Les limitants et les illimités de Philolaos de Crotone, (suite).

Jeudi 1^er décembre : Stefan Neuwirth, Les limitants et les illimités de Philolaos de Crotone.

Jeudi 24 novembre : Sandra Bella (Universités de Nantes et Paris-Diderot), Quelle méthode des tangentes dans la querelle des infiniment petits ?

Descartes publie La Géométrie en 1637, essai qu’il présente comme une application de sa Méthode. Dans cet ouvrage, il présente une méthode de cercles tangents dont l’outil fondamental est algébrique. Sa méthode ne peut s’appliquer qu’aux courbes qu’il nomme « géométriques » par opposition aux « méchaniques » qui ne possèdent pas d’équation algébrique. Fermat propose aussi une méthode des tangentes au même moment que Descartes (et de façon tout à fait indépendante) qu’il fait découler d’une méthode de maximum et de minimum et peut a priori s’appliquer à toute courbe. Son premier exposé est algorithmique et ne permet pas de comprendre l’origine de sa méthode. Descartes le lui reproche, ce qui engage une querelle. Cette querelle amène Descartes et Fermat à reformuler leurs méthodes. Aucune des deux méthodes n’utilise d’infiniment petit.

Ces deux méthodes sont à l’origine d’autres inventions, reçues et interprétées sur une cinquantaine d’années. Des mathématiciens comme Barrow, Grégory, Hudde, Wallis, etc. donnent de nouvelles versions de méthodes de tangentes, et il est curieux de remarquer à quel point les objets mathématiques mis à l’œuvre ont un statut modifié; quelquefois aussi le sens de certains mots est fléchi. Leibniz publie en 1684 sa méthode différentielle. En France, le Marquis de l’Hospital assimile ce nouveau calcul dans les années 1690 et élabore l’ouvrage Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, publié en 1696.

À partir de juillet 1700, Michel Rolle lance un débat au sein de l’Académie Royale des Sciences contre l’utilisation du calcul leibnizien qu’il trouve peu exact et sans fondement (à cause des infiniment petits qui y sont impliqués). Qu’ils attaquent ou qu’ils défendent le calcul différentiel, chacun des adversaires s’affilie à un héritage commun : les références sont Fermat, Descartes et Barrow.

Nous ne pensons pas que l’appel à cet héritage soit juste un argument rhétorique pour défendre leur point de vue, mais cette situation est embarrassante pour l’historien.ne. Chaque camp pense réellement être dans la continuité de cet héritage. Il s’agit pour nous de prendre au sérieux les deux camps adverses. Pour qu’une explication émerge des modalités de ces affiliations, nous souhaiterions reprendre la lecture de quelques textes de la période qui précède le débat académique et qui présentent des méthodes de tangentes.

Jeudi 17 novembre : Michaël Klopfenstein, suite de l’exposé du 10 novembre.

Jeudi 10 novembre : Michaël Klopfenstein, Réflexions sur la nature des mathématiques.

Jeudi 20 octobre : Michel Langlois, Coordonnées de Rindler et géométrie du boost inverse.

Jeudi 13 octobre : Michel Langlois, Boost tangent le long d’une ligne d’univers et signification de son inverse.

Jeudi 6 octobre : Christian Lexcellent, Tenue mécanique des réservoirs sous pression.

Jeudi 29 septembre : Rentrée du séminaire.

Publications et archives

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